现在最古老的数学问题在哪里？
一个几十年前的结论被一个新的证明赋予了新的生命：所有整数都可以表示为分数之和。
数论者一直在寻找隐藏的结构。 当他们遇到一个不可避免的数字模式时，他们会测试它，并试图探索在什么情况下不会出现给定的模式，尽管经常失败。
牛津大学（University of Oxford）的托马斯·布鲁姆（Thomas Bloom）最近的一项研究回答了一个可以追溯到古埃及的问题，突出了这种数字模型的生命力。
达特茅斯学院（Dartmouth College）的卡尔·波梅兰斯（Carl Pomelance）说：“这可能是数学中最古老的问题。 ”
这个问题涉及分子为 1 的分数，例如 1 2、1 7、1 122这些“单位分数”对古埃及人来说非常重要，因为他们的数字系统只包括这种类型的分数。 它们只能将复数分数表示为单位分数的总和，例如 3 4 = 1 2 + 1 4
20世纪70年代，人们对这种加法的研究兴趣迎来了高潮。 当时，保罗·埃尔多斯（Paul Erdos）和罗纳德·格雷厄姆（Ronald Graham）提出了一个问题：设计一个不包含倒数和子集为1的整数集有多难？ 例如，一个集合不满足条件，因为它包含子集，并且这三个数的倒数之和为 1：1 2+1 3+1 6=1
更准确地说，Erdos 和 Graham 猜想，任何足够大的整数集比例采样都必须包含一个倒数加到 1 的子集。 如果初始集合满足采样足够整数的简单条件（此条件也称为“正密度”），则肯定存在倒数和 1 的子集，即使集合中的数字是故意选择的，使其难以找到这样的子集。
蒙特利尔大学的安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville）说：“我只是认为这是一个不可能的问题，任何正常人都不可能做到。 我没有看到任何明显的工具可以解决这个问题。 ”
布鲁姆对鄂尔多斯和格雷厄姆问题的担忧源于一项任务：去年9月，他被要求向牛津大学的一个阅读小组展示一篇20年前的文章。
那篇文章的作者是一位名叫厄尼·克鲁特（Ernie Croot）的数学家，他解决了鄂尔多斯-格雷厄姆问题，即所谓的彩色版本。 在着色问题中，整数被随机划分为不同颜色的桶：有的在蓝色桶中，有的在红色桶中，依此类推。 鄂尔多斯和格雷厄姆**，无论使用多少个不同颜色的桶来对这些数字进行分类，至少有一个桶包含倒数之和的子集为 1。
克鲁特从调和分析（与微积分密切相关的数学分支）中引入了一种强大的新方法，以证实鄂尔多斯-格雷厄姆猜想。 他的**发表在该领域的顶级期刊《数学年鉴》上。
佐治亚大学的乔治斯·佩特里迪斯（Giorgis Petridis）说：“克鲁埃的论点读起来很愉快，它不仅需要创造力、天赋，还需要大量的技术能力。 ”
然而，尽管克鲁埃的**令人印象深刻，但它未能回答鄂尔多斯-格雷厄姆猜想的密度版本。 因为 Klute 利用了着色桶分类的便利性，这在实数论中是不存在的。
在将数字划分为多个桶时，Klut 希望避免使用具有较大质因数的复合数。 这些数字的倒数加起来通常为具有大分母的分数，而不是简化为可以加到 1 的简单分数。 因此，Klut 证明了，如果一个集合包含足够数量的小质因数，它必须包含倒数之和为 1 的子集。
克鲁特证明，至少有一个枪管总是满足这一特性，这足以证明着色版本的结果是合理的。 但更一般地说，数学家不能简单地选择使用桶来说明问题。 他们可能需要在不包含小质因数的桶中找到解决方案，在这种情况下，Kluet 的方法将行不通。
这是我无法回避的问题。 克鲁特说。 但二十年后，当布鲁姆准备与他的阅读小组分享克鲁特的**时，他意识到他可以从克鲁特介绍的方法中获得更多。
“我想克鲁特的方法实际上比乍一看要强大得多，所以我考虑了几个星期，终于发现它有多强大，”布鲁姆说。 ”
Kluet 的证明依赖于一种称为指数求和的积分方法，这是一种检测问题中有多少个整数解的表达式。 在我们讨论的这个问题的情况下，它能够指示有多少子集包含单位分数之和等于 1 的情况。 但有一个问题：几乎不可能准确地求解这些指数，甚至估计它们都可能非常困难。
Kluet 的估计证明他正在处理的积分是正的，这一性质意味着在他正在处理的初始集合中至少有一个解。
奥地利格拉茨理工大学的克里斯蒂安·埃尔肖尔茨（Christian Elsholtz）说：“他用一种近似的方法解决了这个问题，这就足够了。 ”
布鲁姆调整了克鲁特的策略，以处理具有更大质因数的数字。 但这样做需要克服一系列问题，这些问题使证明指数和大于零变得更加困难（因此是鄂尔多斯-格雷厄姆猜想）。
Klutt 和 Bloom 的方法实际上将积分分解为多个部分，并证明主项是正的并且足够大，而其他项（其中一些可能是负的）太小而无法忽略。
但 Klut 忽略了具有非常大的质因数的项，这些项受到 Bloom 方法的良好调节。 因此，在处理那些可能引起麻烦的数字时，有更多的回旋余地。 尽管如此，在证明给定项很小时，仍然有可能遇到麻烦的数字，但布鲁姆已经证明这种情况很少见。
不列颠哥伦比亚大学的格雷格·马丁（Greg Martin）说：“我们总是在估计一个指数的总和，但是当指数本身包含很多术语时，我们需要非常乐观，我们总能找到一种方法来估计它，以证明它是一个很大的积极因素。 ”
Bloom 没有使用这种方法来查找倒数总和 1 的数字集，而是使用它来查找倒数相加以获得较小分母的分数的数字集，然后使用这些数字来获得所需的结果。
“老实说，你找不到一个 1，你可能会找到一个 1 3，但如果你以三种不同的方式找到三个 1 和 3，把它们加起来，你会得到 1。””
这让他对这种数字模式的稳定性有了更深入的理解：每当一个集合在数线上包含一些微小但足够大的片段（整数部分）时——无论片段看起来如何——都不可避免地要找到这些整齐的单位分数的总和。
不列颠哥伦比亚大学的伊莎贝拉·阿巴（Izabella Aba）说：“这是一项了不起的成就，组合和解析数论在过去20年中取得了长足的进步，这使得以全新的视角和更有效的方法解决旧问题成为可能。 ”
同时，它给数学家留下了一个新问题，即没有一组子集的单位分数之和等于 1。 这方面的一个例子是素数的集合——没有素数的子集的总和等于 1——这个性质也适用于其他“更大”的无限集合，因为它们的倒数之和比素数的倒数之和接近无穷大的速度更快。 在隐藏结构重新浮出水面并且倒数之和不可避免地变为 1 之前，这些倒数总和的增长速度有多快？
鄂尔多斯格雷厄姆猜想是一个非常自然的问题，但并不是全部答案。 ——佩特里迪斯
作者： Jordana Cepelewicz
翻译：中本聪。
审稿人：有很多兴趣。
原文链接：数学的“有史以来最古老的问题”得到了新的答案
译文中表达的观点仅代表作者的观点。
它不代表中国科学院物理研究所的立场。
编辑：有很多兴趣。