正弦波也存在于**中，这是吉他、小提琴和钢琴弦的固有振动模式。 通过将牛顿力学和莱布尼茨的微积分应用于绷紧弦的理想模型，我们可以推导出这种振动的偏微分方程。 在这个模型中，弦被看作是并排堆叠的无穷小粒子的连续阵列，相邻粒子通过弹性力连接。
在任何 t 时间，弦中的每个粒子都根据它所承受的力而移动，这些力是由相邻粒子相互拉扯时弦的张力产生的。 在这些力已知的前提下，每个粒子都会根据牛顿定律 f=马 运动，这个过程发生在弦的每个点 x 处。 得到的微分方程取决于 x 和 t，是偏微分方程的另一个例子。 这个方程被称为波动方程，果然，它表明振动弦的典型运动是波。
就像在热流问题中一样，一些正弦波被证明是有效的，因为它们在振动时会自我再生。 如果弦的末端是固定的，这些正弦波就不能传播，而只是停留在原位并振动。 如果一个理想的琴弦经历了可以忽略不计的空气阻力和内摩擦，并开始以正弦波模式振动，那么它就会永远这样振动，振动频率永远不会改变。 由于所有这些原因，正弦波是解决这个问题的理想构建块。
其他振型同样可以由无限数量的正弦波求和。 例如，在 18 世纪使用的羽管键琴中，一根弦经常被用作拨动的羽毛管，在释放之前形成三角形。
虽然三角波有一个锐角，但它也可以表示为一个无穷大的级数和形式，是一个完全平滑的正弦波。 换句话说，我们可以在不使用尖角的情况下创建尖角。 在下图中，一个近似的三角波是由正弦波通过三个越来越忠实的近似值构成的，如图底部的虚线所示。
第一个近似的结果是具有最佳可能振幅的正弦波（“最优”意味着它最小化了三角波的总平方误差）。 第二近似的结果是两个正弦波的最优和。 第三近似的结果是三个正弦波的最优和。 最佳正弦波的幅度遵循傅立叶发现的公式：
这个无穷级数和傅里叶级数称为三角波。 注意独特的数字模式：正弦波中只出现奇数频率，例如 1、3、5、7......，它们对应的振幅是交替加号和减号的奇数平方的倒数。 不幸的是，我无法用几句话解释为什么这个公式有效; 我们必须研究很多具体的微积分，才能弄清楚公式中那些神奇的振幅是从哪里来的。 但关键是傅立叶知道如何计算它们。 有了这个公式，他能够从更简单的正弦波合成三角波或任何其他任意复杂的曲线。
傅立叶的好主意是合成器的基础，我们用一个注释（比如c上面的A）作为例子来说明原因。 为了产生准确的音高，我们可以敲击振动频率设置为 440 个周期的音叉。 音叉由一个手柄和两个金属叉组成，当用橡皮锤敲击音叉时，金属叉每秒来回振动 440 次。
金属叉子的振动会扰乱附近的空气：当它们向外振动时，它们会压缩空气; 然而，当向内振动时，它们会稀释周围的空气。 空气分子的来回产生正弦压力扰动，我们的耳朵将其视为纯音——一种单调而沉闷的音符，缺乏**家族所说的音色。 但是，我们可以在小提琴或钢琴上弹奏相同的A音符，听起来生动而温暖。 虽然小提琴或钢琴也以 440 个周期和秒的基本频率振动，但由于泛音不同，它们产生的声音与音叉（和其他乐器）不同。 泛音是三角波公式中 sin3x 和 sin5x 等波的第一个术语，它通过添加数倍的基频来为音符添加颜色。
除了频率为440个周期的正弦波外，产生的三角波还包括一个正弦波泛音，其频率是正弦波的三倍（3 440 = 1 320个周期的秒）。 这种泛音不如基本正弦模式强，其相对振幅仅为基本模式的1 9，其他奇数模式较弱。 从角度来看，振幅决定了泛音的响度，而小提琴声音的丰富程度与其柔和的泛音和响亮的泛音的具体组合有关。
傅立叶思想的统一力量在于，任何乐器的声音都可以用无数个音叉合成。 我们所要做的就是在正确的时间以正确的力量敲击音叉，即使我们使用的是单调的正弦波，我们也能出色地演奏小提琴、钢琴甚至小号或双簧管的声音。 这就是第一个合成器的基本工作方式：通过组合大量的正弦波，它们可以再现任何乐器的声音。
高中时，我上了一门电子课，感受到了正弦波的作用。 那是在 20 世纪滞胀的 70 年代，当时电子**是在一个看起来像老式配电盘的大盒子里生产的。 我和我的同学们将电缆插入各种插座，然后来回转动旋钮，我们会听到正弦波、方波和三角波。 我还记得正弦波的声音干净而宽广，像笛子一样; 方波的声音听起来尖锐刺耳，像是火警; 三角波的声音听起来嘈杂嘈杂。 通过转动其中一个旋钮，我们可以改变波的频率，提高和降低其音调。
转动另一个旋钮，我们可以改变波的振幅，使其听起来更响亮或更柔和。 通过同时插入多根电缆，我们可以将波及其泛音以不同的形式组合在一起，这就是我们对抽象傅里叶理论的感官体验。 我们可以听到在示波器上看到的波的形状。 如今，您可以在互联网上尝试所有这些，搜索诸如“三角形声音”之类的东西，您会找到一个交互式演示程序。
更重要的是，傅立叶在开发微积分粒子连续体的运动和变化方式方面迈出了第一步。 除了牛顿对离散粒子运动的研究之外，这是另一项重大进步。 在随后的几个世纪里，科学家们继续使用傅里叶方法来解决其他连续体的行为，例如波音 787 机翼的颤动、面部手术后患者的外观、血液通过动脉的流动或之后地球的隆隆声。
如今，这些技术在科学和工程中无处不在，它们被用于分析各种波现象，包括：热核**产生的冲击波，用于通信的无线电波，促进肠道营养吸收并将废物推向正确方向的消化波; 大脑中与癫痫和帕金森氏症震颤相关的病理性无线电波，高速公路上的交通拥堵浪潮（如幽灵堵塞的刺激性现象，交通无缘无故地整体减速）。 傅里叶思想及其分支可以帮助我们从数学上理解所有这些波动现象，解释和消除它们（有时借助公式，有时通过大规模计算机模拟），在某些情况下，控制或消除它们。