张庆华男，北京人，1940年10月生于重庆。 1965年毕业于北京大学数学力学系，主修力学（六年制）。 1981年11月至1985年6月赴美留学，获美国北卡罗来纳州立大学海洋、大气与地球科学系博士学位。 长期在中国科学院海洋研究所、国家海洋局第一海洋研究所从事动态海洋学和应用数学研究，担任研究员和博士生导师。 所有从事物理学的理论研究者都不可避免地需要求解各种数学和物理方程，尤其是偏微分方程。 偏微分方程很难直接求解然而在一定条件下求解偏微分方程的问题可以简化为求解常微分方程，甚至是线性常微分方程问题。 但是这个常微分方程往往是可变系数的奇异方程。我们知道历史的“特殊功能”理论。它们中的大多数是为构造奇异线性常微分方程的解而开发的。 梳理前辈的研究工作，不难看出现有的工作是将方程的奇异解写为“奇异因子”和非奇异函数的乘积，这个非奇异函数习惯性地被看作是一个幂级数，并且这个幂级数要求均匀收敛。 在没有计算机的时代，幂级数的系数需要通过递归公式来获得，对此对方程的形式和方程中系数的配置（如贝塞尔方程和勒让德方程）的具体形式都有非常严格的要求，这样才有可能得到方程的解（当然， 不排除使用更复杂的方法，例如复变量函数的方法直接得到某些特定方程的解）。但有一件事是肯定的传统理论没有给出求解线性常微分方程的一般方法
另外需要指出的是，当采用传统方法构造方程的非正则奇异解时，由于尚未找到一致收敛的幂级数，因此证实了在非正则奇点的邻域中没有均匀收敛解，而只有所谓的渐近的“形式解”。。但回想起来，这个结论太武断了！ 只能说，不可能找到满足一致收敛条件的幂串联方案，那为什么一定要有幂串联方案呢！ 求幂级数的解不是必要条件，不能排除使用其他类型的级数作为基本函数可以满足一致收敛条件。 在下文中，我们将讨论“改进傅里叶方法及其应用”中的以下文章（作者：张庆华。 北京： 科学出版社， 202312）.澄清这个问题
改进傅里叶方法及其应用
《改进傅里叶方法及其应用》是作者近20年来在这一领域逐步完成的十几篇学术文章的合集。 书中的例子中有很多数学推导和数值计算，我不能保证所有的数学推导和计算都是完美无缺的，但如果读者是科研人员，只要能理解我给出的求解思路，他就可以根据自己选择的参数独立完成求解过程， 而这样就达到了编纂本书的目的。对于许多数学和物理研究者来说，对于所研究的具体问题，需要获得清晰的数值结果，虽然可能有很多相关的参考书，而且书的内容包罗万象，但对于每个问题，都没有最终结果或获得最终结果的方法。 在这方面，本书可能对读者有所帮助
我们知道，n阶常微分方程的经典解只需要是n阶微分性的函数，一般不要求它是否具有高阶微分性。 然而，前人研究所要求的在有界区间[a，b]（根据魏尔斯特拉斯理论）上均匀收敛的幂级数是收敛到无限微性的函数，这不是方程解必须具备的性质，或者换句话说，它是方程解的解析性质的过高要求。
本书中构建的改进的傅里叶级数是在经典周期傅里叶级数之上叠加修饰符。 根据狄利克雷定理，为了逼近具有一致收敛的分段光滑和连续函数，0 阶修饰项由阶跃函数和线性函数（1 次幂函数）组成。 一阶修饰项由阶跃函数的 1 阶积分和高达 2 阶（1 阶和 2 次幂函数）的幂函数组成; 2 阶修饰符项由阶跃函数的 2 阶积分和高达 3 阶（1 次、2 和 3 次方函数）的幂函数组成。 因此，2阶改进傅里叶级数由经典的傅里叶级数加上2阶修正器组成。 二阶改进傅里叶级数为均匀收敛级数，其一阶导数和二阶导数也是均匀收敛级数。 因此，奇异二阶线性常微分方程的解由奇异因子和二阶可微分改进傅里叶级数的乘积组成。 可以看出，如果方程的系数（包括非齐次项）存在断点（如冲击波问题），则需要在修正项中保留阶跃函数项。 如果方程的系数是连续的，则只需要在修饰符中保留（有限阶）幂函数。 对于正则奇点或非正则奇点邻域的解，除了奇异点因子形式的差异外，改进的傅里叶级数的构造方法相同。 上述二阶方程解的构造方法也可以应用于高阶方程，例如本书第 5 章第 2 节示例中求解的四阶常微分方程。
如果 = 0 是正则奇点，则正则奇点因子为
以下是待定参数; 如果 = 0 是非规则奇点，则非规则奇点因子写为
确定代表最高奇异阶数的数值m，成为构造非正则奇异因子的关键！ 第 3 册第 4 节附录中的引理 6 给出了确定值 m 的统一方法，这种方法以前从未被系统地研究过。
此外，本书第2章给出了不连续性方程的精确解和示例，明显优于以前的近似方法。
使用改进的傅里叶级数（我们简称改进的傅里叶方法）构造微分方程解的方法分为五章。
第一章是先修课，介绍了改进傅里叶级数的思想及其在求解非奇异方程中的应用。
第 2 章是具有不连续性的方程的解。
第 3 章介绍了构造奇异因子的原理以及改进具有 1、2 和 5 阶奇异性的奇异方程（包括正则和非正则奇异性问题）的傅里叶级数所需的约束。
第4章给出了常见六类方程（如勒让德方程、贝塞尔方程、韦伯方程、汇流跛脚方程、马蒂厄方程、汇合超比方程等）在实数轴上所有奇异点附近所有奇异点的奇异解的求解方法，并给出了一些计算实例来验证这些方法。
第5章采用改进的傅里叶方法求解了与海洋中波浪和风波形成相关的海洋动力学问题。
从第二章开始的每一节都是一个独立而完整的数学体系，一般不需要参考其他章节的内容。 如果你只对某个特定部分感兴趣，你可以直接阅读，如果你确实需要参考之前的结果，我已经明确指出了它的来源（你总是可以先直接引用它，然后在你有时间的时候探索它的上下文或详细证明它）。
本书的读者不需要有很高的数学造诣，只要有扎实的经典微积分知识就足够了，但需要有逻辑思维能力和耐心仔细推导数学公式即可。 这是数学和物理学研究生一般应该具备的素质。
本文节选自《改进傅里叶方法及其应用》（张庆华著）。 北京： 科学出版社， 202312）一本书“引言”和“后记”。有删减修改，标题已由编辑添加。
isbn 978-7-03-077628-0
责任编辑：赵经纬、杨然。
本书中介绍的改进的傅里叶级数是一个可以一致收敛以在闭区间内逼近任何形式的伪光滑函数的级数。 本书提出了：求解具有可变系数的线性常微分方程的一般方法（其中可变系数可以是连续的，也可以是不连续的）; 给出了求解具有不同阶奇点的奇点方程（正则或非正则）的原理。 给出了几种具有奇异异常的常见微分方程的详细求解过程和计算实例。 圆满解决了两个典型的海洋动力学问题（海洋内波与地形的相互作用，风场作用下水-大气界面的稳定性分析）。
本书适合作为物理学理论研究者的参考书或参考书。
本文编辑：刘思丹）。
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