注：这篇文章**是今日头条自己创作的一篇文章，因为今日头条是一个关注新闻八卦的平台，对数学创作不是很支持，我为了有系统的工作，所以转了一圈，最终选择了百家来创作。
集合之间的基本关系
1. 子集、真子集和集合的定义和表示
子集：如果集合中的任何元素是集合的元素，则该集合称为集合的子集，表示为 or，读作“contained”（或“contained”）。
注意：
当集合未包含在集合中时，它表示为 或。
该子集可以用下图表示：
子集的维恩图表示描述：集合本身可以是其自身的子集，即
真子集：如果集合是集合的子集，并且其中至少有一个元素不属于该集合，则该集合称为集合的真正子集。 写成：或。
真正的子集图表示如下：
真子集维恩图 通过子集和子集的介绍，学生应注意以下几点：
子集是对两个集合之间关系的描述，它反映了部分与整体之间的关系（而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系）。
并非所有两个集合都具有包含关系
例如：=， =， 因为，但是，所以不是子集; 同理，因为，但是元素，所以不是一个子集
类比和的关系就像（小于或等于）和（小于）之间的关系，小于或等于，表示小于。
例如：对的就是错的，如果是对的，也是真的; 相反：对，但错; 如果是这样，那么这也是真的。
集合相等
如果它是集合的子集，并且该集合是集合的子集，则该集合等于集合
那是。 2.空集
定义：通常，我们将不包含任何元素的集合称为空集合，并将其表示为。
并规定空集合是任何集合的子集
在此规定的基础上，结合子集和真子集的相关概念，我们可以得到：
空集只有一个子集，即它自己;
空集是任何非空集的真正子集
0，，
0，，3. 空集、子集和真子集的性质
指定：空集是任何集合的子集 也就是说，对于任何集合，都有。
任何一个集合都是其自身的一个子集，即。
如果，那么。 如果，那么。
注意：空集是任何集合的子集，所以在用参数求解问题时，需要注意讨论两种情况，前者往往被忽视，导致思维不完整。 下面是一个示例：
4.子集的数量（**在知识点的排列和组合中）。
如果集合中有一个元素，则有。
的子集数为 1
的非空子集数为 1
的真子集数为 1
非空真子集的个数为 1
5. 韦恩图
约翰·维恩（John Venn，1834 年 8 月 4 日 - 1923 年 4 月 4 日）：英国数学家 在数学中，我们经常使用平面上一组闭合曲线的内部表示，这称为图形。
注意：
表示集合的维恩图是一条闭合曲线，它可以是圆形、矩形、椭圆或其他闭合曲线;
维恩图的优点是图像直观，缺点是公共特征不明显，所以在绘制图时要注意区分大小和大小的关系。
集合的基本操作
1. 交叉路口
文字语言：对于两个给定的集合，所有属于它和属于它的元素的集合称为 的交集，表示为，读作交集。 （通俗地说，由集合的两个或多个共同元素组成的新集合称为联合）。
符号语言：= 和。
图形语言：阴影部分是。
交集维恩图属性：=、=、==、if、then =
解：为单个数的交点找到相同的值，为不等式的交点绘制数轴，并在不同的高度绘制不同的集合。
下面是一个示例：
2. 工会
文字语言：对于两个给定的集合 A 和 B，由两个集合的所有元素组成的集合称为 a 和 b 的并集，表示为 a b，发音为“a 和 b”。（通俗地说，就是把两个或两个以上集合的所有元素放在一起，重复的元素只取一次）。
符号语言：a b
图形语言：阴影部分是 b
联合维恩图属性：a b b a、a a a a、a a a a、if a b，则 a b b
解决方案：将两个集合的所有元素集中在一起，但重复的元素只写入一次，并且必须满足集合中的异质性。
下面是一个示例：
3. 补充
完整集合：在研究集合与集合之间的关系时，如果要研究的集合都是给定集合的子集，那么给定集合称为完整集合 符号：完整集合通常表示为 u
补丁。。。文字：
如果给定集合 A 是完整集合 u 的子集，则 u 中不属于 a 的所有元素的集合称为 u 中的补码，并表示为 。
符号语言：= 和。
图形语言：
补充维恩图自然界：
注意：并非所有完整的作品都用字母 u 表示，也不是所有的作品都是 r，具体取决于标题。
下面是一个示例：
4.集合之间的算术定律交换法：
关联性财产： 分配性财产：
德摩根定律：德摩根：数学家，伦敦数学学会第一任主席5.运用交叉点的求题思路，对参数范围进行补充
根据并集找到参数范围：
如果 a 有参数，那么我们需要讨论 a 是否为空集;
如果 b 有参数，则。
根据交点求参数范围：
如果 a 有参数，那么我们需要讨论 a 是否为空集;
如果 b 有参数，则。
高考中集合与基本操作的价值取向的基本关系
1. 基础知识考试
集合与基本运算的基本关系是数学的基本知识，也是数学学习的重要内容。 通过高考的考试，可以检验学生对这些基础知识的掌握程度。
2. 数学思维能力的考核
集合之间的基本关系和运算要求学生具备一定的数学思维能力，如抽象思维和逻辑思维能力。 通过对这些问题的考察，可以检验学生是否具有一定的数学思维能力。
3. 解决问题能力的考核
集合之间的基本关系和基本操作中涉及的问题要求学生具有一定的解决问题的能力，例如分析和解决问题的能力。 通过对这些问题的考察，可以检验学生是否具备一定的解决问题的能力。
4、数学应用能力考核
集合与基本运算之间的基本关系在现实生活中有着广泛的应用，通过对这些问题的考察，可以检验学生将所学的数学知识应用于解决实际问题。
因此，高考中集合与基本操作的基本关系的价值取向主要是测试学生的基础知识、数学思维能力、解决问题的能力和数学应用能力等，旨在全面测试学生的数学能力和综合素质。
以下是相关的练习题（如有需要，请收藏书签）。