1.机器人姿势的其他表示形式。
上面描述的 3 3 矩阵矩阵描述了姿态、9 个元素和 6 个约束，但实际上只有 3 个独立的元素。 也就是说，可以使用 3 个单独的元素来描述机器人姿势。 常用的是 rpy 角、欧拉角和四元数。
1.1 个 RPY 角落。
RPY角是船舶在海上航行时常用的姿态表示方法，其笛卡尔坐标建立如下：船首的前进方向为Z轴，垂直于甲板平面的法线方向为X轴的向上方向，Y轴由X和Z根据右手定则确定。 将绕 z 轴的旋转定义为滚动，将旋转角度定义为; 绕y轴的旋转是俯仰（pitch），旋转角度是，绕x轴的旋转是偏航（yaw），旋转角度是。 可以看出，rpy这个名字是滚动、俯仰和偏航三个词的第一个字母。
本质是一个围绕固定坐标系多轴旋转问题。
有趣的是，逆解是 x-y-z 固定角度坐标系，它等价于旋转矩阵。 逆解取决于求解一组超越方程：如果旋转矩阵已知，则有 9 个方程和 3 个未知数。
1.2 欧拉号角。
欧拉角是瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出的一种方法，通过组合三个轴围绕运动坐标系的旋转角度来描述刚体的姿态，与RPY角类似，也使用了三个角度变量。 该方法广泛应用于数学、物理学、航空工程和刚体动力学。
欧拉角有多种类型，三个角的组合不少于两个轴，可以表示为欧拉角。 第一次旋转可以绕三个笛卡尔轴中的任何一个进行，第二次旋转可以绕另外两个轴中的一个进行，只要方向与第二个方向不同就可以进行第三次旋转，所以也有两种选择，使欧拉角总共有3 2 2 12种定义方式。
本质是一个绕坐标系运行多轴旋转问题。
1.3 四元数。
一般来说，用欧拉角来表示刚体的姿态或运动是简单有效的，但在一些特殊情况下，欧拉角会出现所谓的万能死锁问题，即欧拉角不能描述刚体的运动。 万向节死锁问题的原因是具有有序三角角的欧拉角方法并不能描述所有刚体运动。
1.3.1 四元数的定义和特征。
1843年，爱尔兰数学家威廉·罗文·汉密尔顿（William Rowan Hamilton）在研究复数从描述二维空间到高维空间的扩展时，创造了一个超复数：四元数。 四元数可以表示四维空间，由一个实数单位 1 和三个虚数单位 i、j、k 组成，通常用以下形式表示：
q = a + bi + cj + dk
其中 a、b、c 和 d 都是实数，i、j 和 k 称为一。
我。 2.三维虚单位，具有以下性质：
i2 = j2 = k2 = -1
ij = -ji = k; jk = -kj = i; ki = -ik = j
为简单起见，四元数通常写为实数和向量的组合：
q = (a,v) = (a, b, c, d)
在上面的等式中，v 是一个向量，v = bi + cj + dk，a、b、c、d 是 4 个有序实数。 四元数可以看作是实数和向量的一般表达形式，实数可以看作是虚部为 0 的四元数，向量可以看作是实部为 0 的四元数，也称为纯四元数。 任何三维向量都可以转换为纯四元数。
四元数具有以下特征：
万向节死锁是可以避免的。
几何形状很清晰，只需要 4 个数字来表示任何向量围绕原点的旋转。
计算效率高。
比欧拉号角多了一个维度，这很难理解。
2.一般坐标系的映射和齐次矩阵。
通常，已知向量具有相对坐标系的描述，并且您希望找到其对另一个坐标系的描述。 考虑到一般情况，它与原点不重合，并且存在偏移向量。 原点向量用 pb 表示，而不是使用原点向量
描述（B 与 A）。 众所周知，pb 被发现是 pa。
首先，将PB转换为中间坐标系，与姿态相同，原点重合。 然后：
pa =
pb +
此方程表示将矢量描述从一个坐标系转换为另一个坐标系的一般变换映射。 从上面的等式中，我们可以得到另一种新的概念形式：
也就是说，矩阵形式的运算符表示从一个坐标系到另一个坐标系的映射。
换句话说：在 4 1 向量中添加的最后一个分量是“1”。
在 4 4 矩阵中添加的最后一行分量是“[0 0 0 1]”。
我们知道，笛卡尔坐标系中的位置可以用 3 1 或 4 1 向量表示，这取决于它是乘以 3 3 还是 4 4 矩阵。 上面的 4 4 矩阵称为齐次矩阵。 在其他领域，它可用于投影和比例操作。 它可以看作是表示一般旋转和平移的简单矩阵，即线性变换（常用的齐次变换）可以定义坐标系。