丁世孙先生是中国著名的数学家，他为中国数学的发展做出了重要贡献。 他多次谈到数学的重要性，呼吁社会重视数学教育。 今天，我们分享丁石孙先生的文章《数学的力量》，缅怀和感受他为数学教育所做的毕生努力。
撰写者 |丁石孙.
数学的作用不仅限于知识，更是一种工具，数学在整个教育过程中对人才的培养起着非常重要的作用。 有很多例子表明，一旦一门学科与数学中的某个问题相关联，它就可以突飞猛进地发展。 20世纪80年代，豪普特曼因解决如何用X射线确定晶体结构的问题而获得诺贝尔化学奖。 豪普特曼曾经说过：我大学读了半年，化学水平是普通化学，别的什么都不懂。 事实上，他主要依靠数学来解决用X射线确定晶体结构的问题。 数学通常能够在不同的学科中发挥作用，但不可能提前预测哪些学科会起作用以及以何种方式起作用。
从科学发展的角度来看，数学与许多学科有着密切的关系，数学的发展与许多学科的发展起着互补的作用——要么数学的发展促进了其他学科的发展，要么其他学科对数学提出了一些具体的问题，进而促进了数学的发展。
有人说数学是科学的女王。 许多数学家不同意这种说法。 数学不是孤立于其他学科，而是与其他学科相辅相成、共同促进和发展。 将数学与其他学科之间的关系描述为一种伙伴关系可能更合适。
从历史发展的角度来看，数学在推动科学发展中起到了怎样的作用？
让我们来看看计算机设计思想的产生。 如您所知，世界上第一台计算机出现在 1946 年。 最早的计算机设计理念可以追溯到 20 世纪初。 2024年，数学家希尔伯特在第二届世界数学家大会上提出了23个问题——任何研究数学的人都知道这个问题。 这23个问题一方面总结了19世纪数学的发展，同时指出了20世纪数学应该发展的方面，对20世纪的数学研究产生了很大的影响。
这 23 个问题之一是是否有一种方法可以确定整数系数的多元多项式群是否具有有理数解，或者是否存在整数解。 用数学的语言来说，就是能不能有算法。 这个问题引起了一些数学家的注意，希望得到一个明确的答案。 然而，30多年后，人们逐渐发现这种算法并不存在。 在数学中，在某种程度上证明存在是比较容易的，而要证明存在，就必须给出一个可以用来判断的算法。 但是，如果你想说“不”，你需要解释什么是算法。 可以说，算法是很死的方法，当然这不是严格意义上的数学语言，但人们一般都能理解。 如果你要证明这样的事情不存在，那还不够。 因此，直到 1936 年左右，数学家才定义了算法。
在科学发展中，经常会出现一个奇怪的现象，即一个问题多年后仍无法解决，但在某些时候，几个人同时以不同的方式解决问题。 定义算法的问题也是如此。 大约在 1936 年，有几个人给出了算法的定义。 有一个算法的定义，现在称为图灵机。 图灵机是一种理想的计算机，它与当今计算机的设计思想比较接近。 可以说，图灵机的定义是后来计算机设计思想的重要组成部分。 从这里可以看出，一开始是一个纯粹的数学问题，根本没有想到设计计算机。 但是如果你想解决这个问题，你必须定义算法。 今天能做这么多事情的计算机，根本原因就是一个数学问题，而对这个数学问题的研究，事先没想到会有这么大的影响。 这个例子说明，从一个纯数学问题出发，不仅解决了一个数学问题，而且对其他学科也有重要的影响。
另一个例子是“群论”。 现在每个参与数学的人都知道群的概念是什么。 然而，群的定义出现在 20 世纪 50 年代，它最初是从求解方程中推导出来的。 我们都知道，二次多项式的解就是所谓的根数，这个问题大约在2024年前就已经知道了，大家在初等数学中都学过。 这里有一个有趣的过程：通过系数来表示根。 在求解二次方程时，很容易想到三元组，即二次方程是否有类似的公式。 大约在15世纪，二次方程被求解，公式非常复杂。 很快，求解二次方程的公式也出来了。 数学家有个习惯，就是总是想泛化，既然有二次公式、三次公式、四重公式，那么五次怎么样？大家都以为应该有五次，没想到在五阶方程的问题上会遇到大问题，而时隔了将近几百年，直到19世纪初才有可能解决这个问题。 19世纪30年代，法国一位名叫伽罗瓦的年轻数学家提出了伽罗瓦的理论：他给出了一种方法来确定方程的根可以用系数表示多少次。 所谓表达式，就是用加法、减法、乘法、除法、开方（不一定是开方）来表示。 这样，就提出了群的概念，最终通过群方法解决了这个问题。 起初，结果被送到了法国科学院，科学院一位非常重要的科学家认为这是无稽之谈，所以从未被忽视。 直到19世纪50年代才正式出版，才提出了蜂群的概念。 伽罗瓦的这一结果直到20年后才得到认可。
基团的概念纯粹是一个数学问题，但首先用于解决化合物中有多少晶体的问题。 在19世纪末和20世纪初，化学家们用基团的概念来解决有多少种晶体结构的问题。 群的概念其实是对称性的一个很好的度量，可以解决对称性是用什么来度量的问题，即它的变换群的结构是什么，量有多大。 同样，这是一个纯粹的数学问题，但远远超出了数学示例。 在数学中有很多这样的例子。
这里有一个例子，说明实际需求如何促进数学的发展。 二战期间，德国空军实力雄厚，飞机数量多，质量好。 为了解决如何用劣势空军击败德国空军的问题，美国找来了一群数学家，冯·诺依曼就是其中之一。 因此，冯·诺依曼通过研究这个问题发现了博弈论。 近几十年来，博弈论最重要的用途之一是对经济数学的研究，它已发展成为经济数学不可或缺的基础。
数学研究的对象究竟是什么？这并不容易表达。
过去，数学的定义是恩格斯在《自然辩证法》中提出的，他说数学是研究客观世界的数量关系和空间形态的学科。 恩格斯的定义是在19世纪提出的，随着20世纪数学的发展，很多事情都不能用这个定义来概括。 说到数字之间的关系，就意味着数学是研究数字运算的学科，但随着数学的发展，数字计算的对象远远超出了数字。 例如，群论计算群元素。 甚至还有其他的，可以说，与运算无关，所以说数学是研究数量关系已经不够了。 还有一种空间形式，在当时被理解为客观世界，通常被称为三维空间。 然而，几何学的研究已经远远超出了三维，涉及四维、五维、多维，甚至无数的维度。 因此，用 19 世纪的定义来概括数学是不够的。
你如何定义数学？到目前为止，还没有一个令人满意的定义。 这也说明数学的定义很难想出来。 比如有人指出，数学是研究量的，如果去掉“数”二字，他说有“数”，太死气沉沉了，数是整数和分数。 那么什么是数量呢？数量是一个哲学概念。 现在有人说数学是对秩序的研究，就是研究数学的目的是给世界赋予秩序，但这种说法并不是数学的语言。 这有一定的道理，但尚不清楚。 由此可以看出，由于数学的研究对象是抽象的，数学不同于其他自然科学和社会科学，这些学科有非常具体的对象，而数学则没有。 数学之所以既可以用于自然科学，也可以用于社会科学，甚至人文科学，是因为它是抽象的。 数学研究对象的抽象性首先有以下一种，那就是它可以训练人思考的方式——抽象思维方法。 在数学中，即使我们从自然数入手，它们也已经是非常抽象的概念了，我们必须经过许多层次的抽象才能得出数的概念。 因此，在历史上花了很长时间才能区分多数和单数。 只要你研究数学史，你就会发现，数概念的形成并不容易。 因此，学习数学可以培养人的抽象思维能力。
为什么抽象如此重要？因为人要想把握事物的本质，就必须去掉很多不重要的东西，要想去掉很多非本质的东西，就必须通过抽象思维来解决。 抽象的思维方法对于科学研究甚至处理日常生活中出现的问题都很重要。 没有抽象的能力，就不容易辨别要解决的问题。 这是数学的突出特点，即它的抽象性。 数学的抽象性质使其能够以多种方式应用，甚至以完全不同的方式应用。
第二个特点是，由于数学的抽象性，数学对象的定义必须非常清晰。 其他学科对定义有不同的要求，一般可以描述它是什么，听者就能理解。 然而，数学由于其抽象的对象而不具有描述性，必须严格定义。 定义在数学中非常重要，每个人都知道这一点。 在我的教学中，我发现其他系的老师来数学系讲课时，经常会遇到很大的困难。 例如，物理系的一位老师讲课时，谈到“力”，学生要求对“力”进行定义，这是非常困难的。 老师很难用几句话把“力”描绘得很清楚。 与数学中的“圆”不同，它是与一个点相等距离的轨迹，它非常清晰。
化学中的很多东西也可以通过描述来理解，而且很清楚，不需要定义。 为什么数学对定义如此严格？由于它的抽象对象，如果不通过定义来定义它，就无法讨论它。 因此，数学要求对概念的描述非常准确。 我经常开玩笑说，数学生很傻，只要定义不清楚，他就听不懂。 从这个意义上说，它有优点也有缺点。 缺点是你必须要求对所有东西进行定义，并且会有问题，并不是所有的东西都可以定义。 因此，数学的第二个特点是它需要非常准确地描述概念。
数学的第三个特点是逻辑的严谨性。 因为它是抽象的，所以只能通过逻辑来发展，这对人来说也是非常重要的训练，可以用平面几何学来理解。 当你学习平面几何时，它到底起了什么作用？当我年轻的时候，在我上了数学大学后，我宣布平面几何是无用的。 20世纪50年代，我参与了中学数学教学改革，经常说平面几何应该废除。 当了几年老师，我发现学过平面几何的学生和没学过平面几何的学生是有区别的，那就是如果要证明一个问题，学过平面几何的学生容易接受，没有学过平面几何的学生更难接受。 “文革”期间，如果学生说一个三角形的三个角之和等于180度，很多人会问，这么简单的问题还需要证明吗？如果你只是拿一个量角器来测量它，它会让我们的教练发笑。 这说明逻辑思维的能力需要通过一些具体的东西来培养，而平面几何是培养人的逻辑思维能力的良好媒介。
数学课有三个特点。 通过学习数学，你可以养成良好的思维习惯和思维方法，这些都会在无形中对人起作用。 数学与其他学科的关系不仅是相辅相成的，重要的是数学不仅给人知识，还给人思维方式，数学其实是文化的一部分。 数学是理性和思维的典型例子，数学的上述三个特征都是关于理性思维的。
数学也是文化的一部分。 在中国传统文化中，理性思维不是很受重视。 例如，文艺复兴之后，许多西方哲学家喜欢从事哲学体系，这是他们的习惯。 这个习惯好不好是另一回事。 中国则大不相同，《论语》这部非常重要的中国经典，是以语录的形式出现的。 里面的很多字都是格言，指出要点，没有讨论，也没必要讨论，但一听就明白了。 这是中国思维习惯的反映。 中国传统数学书籍的特点之一是例子丰富。 比如孙子残差定理，数学中一个非常重要的理论，在中国的数学书籍中，孙子残差定理就是告诉你剩下的数是三或三，剩下的数是五或五，剩下的数是七或七。它既不证明也不形成一个系统，这是中国数学的特征，也是中国文化的特征。
数学是文化的一部分，数学体现在一种思维方式上，数学学习也是培养人的逻辑思维能力的重要途径。 过去我们在教学改革中提出，逻辑思维能力是通过逻辑课直接获得的，中学也开设了形式逻辑课程，但最终证明效果很差。 逻辑思维的一些规则已经传授了很长时间，学生无法理解，更不用说使用它们了。 后来，人们认识到，人们的逻辑思维能力是不能通过上逻辑课来培养的。 平面几何最大的优点是它的内容非常直观，通过平面几何的载体，可以有效地培养人的逻辑思维能力。 数理理论的逻辑非常严密，人们无法从具体内容中提炼出逻辑，单独谈论它，所以没有人能理解它，也学不到它。 通过数学的学习，逻辑思维能力逐渐提高。 数学是文化的一部分，通过对数学的学习，可以培养人的能力，提高人的素质。
数学知识可以分为两种，一种是比较基础的，必须学习的;还有一种改进，想用的时候来不及学了。 比如十几年前，大家都觉得电脑的使用很有前途，于是就学习了电脑语言。 我不得不学习一点计算机语言，但我后来的经验是，学习更多的语言是没有用的。 这门语言有一个特点，你不必在学习后立即忘记它。 还有一点是，计算机技术发展迅速，计算机与人的关系越来越紧密，容易学习。
综上所述，数学不仅是知识，更是培养人的能力，提高人的素质。 质量有点虚荣。 常有同志说数学是美的享受，但对此我不太理解。 你说数学很美，有时你可以说它很美，但我并不真正体会到这种美对我有多大用处。 数学是对美的享受，可以说，但不应该夸大其词。无论如何，数学是一门非常特殊的科学，它能给人一种无形的影响。
记得一位数学家说过，今天的数学教育质量决定了明天的科学人才水平。
关于作者。 
丁世孙 （1927.）9.5-2019.10.12）著名数学家、教育家，北京大学原校长，原北京大学数学系主任。
为了纪念丁石孙先生，北京大学数学科学学院为丁石孙先生设立了纪念网页
本文**：北京大学数学科学学院，编辑：nhyilin。
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