自旋是物理学的核心概念之一，对它的研究为我们打开了奇妙的量子世界。 有趣的是，自旋角动量不仅存在于量子系统中，也存在于经典波系统中。 长期以来，人们一直认为只有圆极化的横波（例如电磁波）才具有自旋，因为弹性纵波（例如流体中的声波）没有垂直于传播方向的极化。 真的是这样吗？ 本文将介绍弹性波自旋的探索。
作者 | young
1 简介：从角动量开始。
我相信你们都玩过陀螺，知道它的乐趣：它旋转得越快，就越难摔倒。 而当它即将下落时，它不会直接在重力的作用下落下，而是继续沿对角线旋转。 这是因为陀螺仪的速度越大，其沿旋转轴的角动量就越大，改变陀螺仪的方向就越困难。 陀螺仪的这些特性可以用一个定律来概括：角动量守恒。
如今，以陀螺仪命名的角速度传感器陀螺仪已广泛应用于各种场景; 无论是大众消费品、手机，还是卫星，人类探索的前沿，都依靠陀螺仪来感知姿态和方向。 尽管它们与玩具陀螺的结构有很大不同，但它们的核心功能仍然是利用角动量守恒的基本物理定律来实现的。 可以说，角动量相关研究是基础研究和科技发展中不可缺少的组成部分。
在各种物理系统的研究中，波的角动量相关性质也备受关注。 例如，在电磁波中，有“自旋”角动量，它是由电磁场的极化特性决定的，而“轨道”角动量是由相位的空间分布决定的。 对电磁波的角动量进行合理的表征和调控，可以帮助人们提高通信信道和带宽。 同样，在机载声波的研究中，轨道角动量也可以用来增加声通信的信道和带宽，并操纵粒子的旋转。 与电磁波相比，人们更关注声波的“轨道”角动量。 因为空气是一种流体，理想流体中没有剪切力，所以从一般意义上讲，这表明空气声波的速度场没有卷曲。 因此，空气声波不具有类似于电磁波的偏振行为，电磁波垂直于传播方向; 由“声波没有旋转角动量”推导出的“声波没有旋转”也已达成共识。 但是，没有卷曲和自旋的角动量真的可以等同吗？
众所周知，声波描述了介质的弹性振动。 从广义上讲，声波不仅包括空气等流体介质中的声波，还包括固体声波。 我们可以将它们统称为弹性波。 为了系统地回答“空气声有没有自旋角动量”这个问题，我们不妨先看看弹性波的角动量是什么样子的。
2 弹性波中的角动量。
在开始讨论弹性波携带的角动量之前，我们还需要澄清两个问题：（1）我们所说的“自旋”是量子力学中的自旋吗？
对于宏观系统，可以在不了解量子力学的情况下研究波的自旋。 以电磁波为例，在量子光学中，电磁波的自旋角动量实际上是光子的自旋。 然而，从宏观角度来看，圆极化的经典电磁场可以具有自旋角动量，而无需进入量子效应的范畴。
b）既然电磁波的量子化描述是光子，那么弹性波的量子化描述是什么？它有旋转吗？
弹性波的量子化描述是“声子”[1]，弹性波和声子的自旋也可以通过场的量化描述[2]联系起来。 虽然早在1961年就有人对声子自旋进行了研究，但以往的研究更多地集中在“横波”声子（即剪切振动的圆极化模式）上，而没有回答零卷曲的“纵波”是否具有自旋角动量。
本文的以下讨论仍然基于经典观点。
在经典力学中，粒子到不动点 o 的角动量 l 定义为：
其中 r 是从点 o 指向粒子的位置向量，p 是质量的动量（即粒子的质量和速度的乘积），x 表示向量的叉积。 如果将弹性介质视为一系列粒子的集合，那么弹性波就是这些粒子的振动（如图 1 所示）。 这些粒子在振动中相对于固定点 o 携带的角动量就是弹性波携带的角动量。
图1 弹性波可以看作是一系列粒子的振动。
值得注意的是，经常讨论的携带弹性波的连续谱需要质量微量元素之间的位置关系，这与自由运动的粒子不同。
图2 双星系统。
例如，两个自由粒子可以执行图 2 所示的二进制运动。 但对于弹性波来说，介质中任何两个质量微米更像是一块布上的两个点。 在保证布料不被撕裂、不整体移动的前提下，这两个质量微元素不能像上面的双星系统那样两圈跳跃。 因此，弹性波比离散粒子更适合描述为连续的“场”。
在没有弹性波传播的情况下，我们让质量单元相对于坐标系原点的位置矢量为 r。 在弹性波的情况下，质量单元的位置为 u（t）+r，其中 u 表示质量单元偏离平衡位置的矢量，这是一个瞬态函数。 通过这种方式，我们得到了一个表征弹性波的瞬态向量场：u（r， t），这意味着在每个平衡位置 r 处获得位移矢量 u。 平衡位置r与时间无关，“布”整体不动; 而我们需要这个向量场的导数存在并且是连续的，这样才能保证“布料”始终光滑，不会被撕裂。 因此，我们不妨将粒子图替换为向量场u（t）+r，箭头的起点位于r，箭头的方向代表你的方向，箭头的大小代表 |u|。在图3中的固体表面声波瑞利波的情况下，粒子集合的振动可以用时变矢量场来描述。
图3 固体中的瑞利波; 左边的图像是粒子图像，右边的图像是位移场图像。
那么，我们应该如何讨论这个场的角动量呢？
让我们听从牛老爷子的劝告，站在巨人的肩膀上。 邀请数学和物理学的巨人艾美·诺特。 （编者注：参见“数学之神所钦佩的数学家，她的定理成为20世纪物理学的基石。 ）
艾美·诺特（1882-1935）。
她告诉我们，任何物理系统中作用量的微分对称性都有相应的守恒定律。 简单地说，我们平移、旋转甚至扭曲一个物理系统的坐标系，保持它的作用量不变，那么我们就可以找到相应的守恒量。 例如，时间平移对称对应于能量守恒，空间平移对称对应于动量守恒，空间旋转对称对应于角动量守恒。 对于弹性波，我们只需要写出它的拉格朗日量，然后改变它的分数，把它转过来，我们就可以得到弹性波的角动量的形式。
至于如何在旋转操作中分离轨道和自旋，我们可以从“算子”和旋转矩阵的语言开始（注意，这并不意味着我们需要考虑量子效应来描述弹性波自旋），给出教科书中常见的“懒惰”理解方式。 当对矢量场进行无穷小的旋转时，旋转可以理解为两部分：坐标系的旋转，在图4中用蓝线标记; 旋转矢量本身，在图 4 中用红线突出显示。 前者给出“轨道”部分，后者给出“旋转”部分。 我们可以看到“轨道”和“自旋”之间的区别：前者具有空间全局分布。
其中 im[ ] 表示方括号内的虚部。 在简谐振动的情况下，位移场u也与速度场成正比。
也可以以速度场的形式写 s。
轨道角动量和自旋角动量之间的差异最终是不直观的，无法解释表达式中有或没有 r。 为了更清楚地说明差异，我们可以想象一个非常薄的弹性环，并假设该环仅以轨道角动量密度和自旋角动量密度振动，并查看相应的振动模式是什么。 如图 5 所示，黑色圆圈表示圆环的平衡位置，从该圆圈中绘制一系列代表您的黑色箭头。
图5 位移场（黑色箭头）随时间的变化，仅针对轨道角动量密度（OAM）。 可以看出，每个位置的位移场没有改变方向，但振动模式整体是旋转的。
此时，整个圆环都在“圆圈”中振动，但每个黑色箭头都不会改变方向，只会改变大小。 这意味着质量单元的运动总是“直线和直线”的，并且对环上固定位置的振动的单次观察表明质量单元本身没有旋转，即自旋角动量密度为零（每个质量单元都没有自己的圆极化振动）， 但轨道角动量密度不为零——质量元素的振动状态（或能量流）沿逆时针方向传播。那么，如果环上的振动模式不沿环传播，是不是没有轨道角动量呢？ 是的，就像图6所示的环一样，它的总轨道角动量为零。
图6 位移场随时间的变化，仅在自旋角动量密度（SAM）下。 可以看出，振动模式作为一个整体是不旋转的，但每个固定位置的位移场却旋转。
显然，环的振动状态不是顺时针或逆时针沿环传播的，而是代表质量元素位移的黑色矢量在旋转，也就是说，这些质量元素携带角动量。 因此，该环的轨道角动量密度为零，但自旋角动量密度不为零。
值得注意的是，从上面的分析中，我们还可以看出，场（波）的自旋是场偏振矢量（如位移、速度）随时间的旋转，与场矢量的空间涡旋无关。 因此，即使在可以传播纯纵波（位移场为零卷曲）的流体中，例如空气声波，也可以携带自旋角动量[3,4]。 至此，我们终于可以说“声波没有旋转”和“声波没有自旋角动量”。
3 为什么弹性波是“特立独行”：混合自旋的贡献。
通过前面的讨论，我们对弹性波的自旋角动量是什么有了大致的了解，也回答了无自旋场是否可以有自旋角动量的问题，下一步就是思考弹性波的自旋有哪些有趣的性质。
上面用红色标记的部分是水平-垂直交项，在纯横波或纯纵波中都不会出现。 我们可以将其称为弹性波自旋角动量中的“杂化”贡献。 “混合”自旋的存在导致包含更丰富结构的弹性波自旋。 例如，在表面波系统中，弹性波的自旋分布似乎是“独特的”[5]。
图7 a-d分别对应地表水波、地表电磁波、地表空气声波和瑞利波。 颜色图的蓝色表示自旋角动量密度方向朝内（负），红色表示垂直纸张朝外的方向（正）; 黑色箭头表示矢量场的大小和方向，右侧绘制相应的椭圆偏振方向。 显然，最右边的弹性波面波在自旋分布方面与前三个系统有显著差异。
图7所示的几个表面波的矢量场在数学上非常相似[5]，它们的振幅随着深度的增加呈指数衰减。 尽管前三个场的卷曲和发散不同，但它们的自旋密度（作为时域中的旋转特性）相似，它们都垂直于纸面向内，并且随着深度的增加，它们的尺寸逐渐减小。 弹性表面波，即瑞利波，的不同之处在于它们不仅在弹性介质表面具有垂直自旋，而且随着深度的增加，它们在自旋方向上翻转。 这是由于存在“混合”自旋，这使得弹性波与其他系统不同。
如今，经典的弹性波理论已广泛应用于各个领域。 从高级研究、地质勘探、无损检测和SAW滤波器等工程应用，到基于弹性超材料、光弹性和磁弹性耦合系统的前沿勘探，都需要对弹性波进行调节。 结合成熟的弹性波相关理论，从“弹性自旋”的新视角出发，可以为实际应用提供一些新的思路。 “杂交”带来的特性也可以激发一些独特的弹性波控制方法。
例如，在超声波检测中，导波模式的激发和识别至关重要。 不同的导波模式对缺陷的响应特性不同，选择性地激发纯导波模式很重要。 这里我们以弹性波导的基本类型兰姆波为例，将兰姆波与其他系统中的类似导波进行比较，看看它们的自旋分布有什么区别。
在二维平面波导中，根据波导上下边界振动模态的对称性，导波可分为对称模和反对称模两种。
图8 电磁波的对称和反对称模式. 黑色箭头表示电场。 这里，对称模态和反对称模态的上表面和下表面的自旋密度方向是相同的。
图9 空气声波的对称和反对称模式. 黑色箭头表示速度场。 这里，对称模态和反对称模态的上表面和下表面的自旋密度方向是相同的。
图10 弹性板波（Lamb波）的对称性和反对称模式。 黑色箭头表示位移场。 可以看出，与电磁波和空气声波的导波模式不同，兰姆波的对称性和反对称模式在上下表面的自旋密度方向上是相反的。
从图 8-10 中可以看出，只有弹性波的对称反对称模式（sa 模式）表现出相反的自旋角动量分布。 计算结果（图11）表明，这种S模式和A模式之间的差异是由“杂交”部分的贡献精确决定的。
图11 在弹性板波（Lamb波）的A0模式和S0模式下，杂化贡献（SH）反转，产生相反的总自旋。
一般来说，为了控制波在两个边界上的对称性，有必要在每个边界上安装一个激励源，即在不同位置至少安装两个激励源。 但是 Lamb Wave 的 A0 和 S0 模式下弹性自旋的分布是相反的。 这意味着我们只需要在边界上安装一个圆极化极化源（手性源）来控制该边界附近的弹性自旋方向，从而分别激发对称和反对称模式。
图12 自旋源在单个边界上对A s模式的反向激励。 一组相互垂直的压电片可以控制其附近的极化图样，激发弹性自旋信号的特性。
图12示出了手性源的实现：一组相互垂直的压电片可以控制振动在两个垂直方向上的相位差，从而可以自由控制由手性源激发的振动的自旋方向。 如果我们遵循图 12 中的模式，其中自旋源激发在薄板的下边界为正，那么我们可以观察到源左侧的 A0 模式 （x<0） 和源右侧的 S0 模式 （x>0）。
在实验测量中，可以通过扫描磁场并对数据进行二维傅里叶变换来获得频域信号。 通过将测量结果与a0 s0的理论色散进行比较，可以区分测量的模式（图13）。
图 13：由 S>0 手性源激发信号的实验测量。 在源（x<0）的左侧，弹性波的信号在A0模式的色散曲线上，表明信号处于A0模式。 源 （x>0） 右侧的信号处于 s0 模式。 这表明实验测量结果与图12中的预期结果一致。
4 总结。
一般来说，从经典波的角度来看，弹性波可以携带自旋角动量。 我们可以使用诺特定理来严格定义弹性波通过位移场的自旋角动量的形式。 特别是自旋角动量的存在并不取决于位移场是否具有卷曲，弹性波位移场还包含卷曲发散度为零的分量，这使得它具有更丰富的自旋角动量结构。 “自旋”的新视角可以与经典的、成熟的弹性波理论相结合，为弹性波的研究提供新的思路。
此外，弹性波的量子化版本，即“声子”，在上面的讨论中没有太多讨论。 作为弹性波场的元激发，声子被认为是通过量子化过程对应于晶格振动的准粒子。 在倒置空间中，声子的本征性质与真实空间中弹性波的整体性质密切相关，类似于电磁波与光子的关系。 因此，声子自旋和弹性波自旋密切相关[2]。 考虑到角动量守恒的基本定律，弹性波自旋和声子自旋也可以用光子自旋和电子自旋进行转换。 在电声耦合、光机耦合、磁弹性耦合和压电耦合方面，弹性波自旋和声子自旋的引入可以帮助我们更好地探索自旋相关的传感和控制技术。
角动量的研究是基础研究和科技发展中不可缺少的一环，希望随着我们对弹性波角动量认识的加深，能够探索出越来越多有趣、新颖、实用的内容。
引用。 1] 物理 51， 855 （2022）.
2] chinese physics letters 39, 126301 (2022)
3] proc. natl. acad. sci. 115, 9951 (2018)
4] national science review 6, 707(2019)
5] phys. rev. lett. 131, 136102 (2023)
本文由科普中国明星计划项目支持，由中国科协科普部出品，中国科技出版社监理，北京中科银河文化传媒***