在劳动法领域，劳动者在履行劳动合同的过程中，应当履行职责，审慎维护用人单位的利益。 劳动者违反用人单位的规章制度或者劳动合同规定，给用人单位造成经济损失的，用人单位有权给予一定的处罚。 本案中，张某在工作中犯了一个错误，给某某科技造成了经济损失，从而引发了一系列赔偿纠纷。
张某于2019年8月加入一家科技公司，但工作期间出现了两个重大错误。 2019年11月16日，在设备维护期间，张某没有拍照并记录主机后部的连接情况，导致重连后出现显卡未安装、软件打不开的提示。 为此，张某在《设备维修失误》报告中承认了这一错误，并表示愿意承担后续维修所产生的费用。 不久之后，在2019年12月，张某因操作失误造成配件损坏，给公司造成1300美元的经济损失。 为此，张某在《配件损坏错误纪要》中承认了这一错误，并表示愿意自费处理。
但张某辞职并实际工作至2020年1月10日后，公司向劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁，要求张某赔偿经济损失5.58万元。 法院在审理此案时，首先确认了张某在履行劳动合同方面存在失误，给公司造成了实际经济损失。 根据《劳动法》的有关规定，因劳动者违反用人单位的规章制度或者劳动合同规定给用人单位造成的经济损失，用人单位有权要求赔偿。
尽管张某表示愿意承担两次失误后的相应责任和费用，但公司仍对赔偿提出了很高的要求。 在审理此案时，法院对该公司的赔偿要求进行了严格的审查。 法院认为，虽然张某的过失给公司造成了经济损失，但公司在要求赔偿时必须遵守相关法律法规的规定。 因此，法院在判决书中明确指出，用人单位要求劳动者赔偿经济损失的，应当提供相应的证据，证明劳动者过失与经济损失之间的因果关系。 同时，法院还指出，用人单位在扣除劳动者工资时，应当事先书面告知劳动者扣除的原因和金额，未书面通知的，不得进行扣除。
综上所述，本案中，张某因履行劳动合同过程中的失误给公司造成了经济损失，应承担相应的赔偿责任。 但是，公司在要求赔偿时必须提供充分的证据证明损失与张某的过错之间的因果关系。 同时，用人单位在扣除劳动者工资时也必须遵守相关法律法规的规定，并提前书面告知用人单位扣除的原因和金额。 只有这样，才能保证劳动关系的公正性、合理性和合法性。