在三维空间中有一个连续可积函数 f（x，y，z）=x 2y 2z 3，它需要计算它在三维区域 v 中的三重积分，该三坐标平面 x=0、y=0 和 z=1 以及旋转抛物线 x 2y 2=z。
解：由于这个问题涉及到一个在三维空间中定义的函数和一个复杂的三维区域，我们需要使用三重积分来求解。 对于这种类型的集成，选择正确的集成顺序至关重要，这将直接影响计算的难易程度。 在这个问题中，我们可以先修复 z 变量，然后在 xy 平面上对区域进行双积分，然后对 z 进行积分。
1.确定积分范围：
对于 z，从 0 到 1 进行积分，因为立体区域区域由 z=0 平面和 z=1 平面定义。
对于 x 和 y，在 z 的每个固定值下，它们满足 x 2y 2=z 的条件，这实际上是在以原点为中心、半径为 z 的圆上。 我们需要整合这个圈子。
2. 设置积分顺序并转换坐标
为了简化积分过程，我们可以使用极化变换。 设 x=rcos ， y=rsin，则有 r 2=z，所以 0 r z，0 2。
我们首先从 0 到 2 积分，然后从 0 到 z 积分 r，然后从 0 积分到 1 积分 z。
3. 表达式转换和积分计算
将 f（x，y，z）=x 2y 2z 3 转换为极坐标，得到 f（r， ，z）=r 2（cos 2 sin 2 ）z 3=r 2z 3。
因此，原始三重积分可以表示为：
从 0 到 1） （从 0 到 z） （从 0 到 2） r 2z 3rdrd dz
先积分，再积分r，再积分z，得到最终结果。
具体集成步骤如下：
i= （从 0 到 1）z3（ （从 0 到 z）r 3dr）（ 从 0 到 2）d ）dz
从 0 到 1）Z3（R44）|0^(√z)(2π)dz
（从 0 到 1） z 3 （z 2 4） dz
4（从 0 到 1）z 5dz
4z^6/6|0^1
函数 f（x，y，z） 在给定的固体区域 v 中具有三重积分值 24。