直到 19 世纪初，热量还是一个谜。 这到底是什么？是像水一样的液体吗？它似乎确实在流动，但你不能把它握在手里，也不能看到它。 虽然你可以通过跟踪冷却时的温度变化来间接测量一个热物体，但没有人知道物体内部发生了什么。
热的秘密是由一个经常感到寒冷的人揭示的。 傅立叶在10岁时成为孤儿，十几岁时身体虚弱，患有消化不良和哮喘。 作为一个成年人，他认为卡路里对健康至关重要。 即使在夏天，他也会呆在一个过热的房间里，把自己裹在厚厚的外套里。 在他科学生涯的各个方面，傅立叶都专注于并痴迷于热。 他发明了全球变暖的概念，并且是第一个解释温室效应如何调节地球平均温度的人。
1807年，傅立叶用微积分解开了热流的奥秘。 他提出了一个偏微分方程，可用于计算物体（如炽热的铁棒）在冷却过程中的温度如何变化。 傅立叶惊讶地发现，无论冷却过程开始时棒的温度多么不均匀，这个偏微分方程都可以轻松求解。
想象一下，一根又长又细的圆柱形铁棒在铁匠铺中加热不均匀，周围散布着冷热点。 为简单起见，我们假设铁棒的外面有一个完全绝缘的套筒，这样热量就不会散失。 在这种情况下，热量流动的唯一方法是沿着铁棒的长度从热点扩散到冷点。 傅里叶假设（并经实验证实）铁棒上某一点的温度变化率与该点的温度与两侧相邻点的平均温度之间的不匹配成正比。 我所说的相邻点是指在我们感兴趣的点的两侧彼此无限接近的两个点。
在这些理想化的条件下，热流的物理过程变得更加简单。 如果一个点比它的邻居更冷，它就会变热;如果一个点比它的邻居更热，它就会冷却下来。 失配越大，温度平衡得越快。 如果一个点的温度正好等于其邻居的平均温度，则一切都处于平衡状态，热量不再流动，并且该点的温度将在下一刻保持不变。
通过比较一个点的瞬时温度与其相邻点的瞬时温度，傅里叶建立了一个偏微分方程，我们现在称之为热传导方程。 它包含两个自变量的导数：一个是时间的无穷小变化（t），另一个是铁棒上位置（x）的无穷小变化。
傅里叶自我强加问题的困难在于，热点和冷点的初始排列可能是随意的。 为了解决这个普遍问题，傅立叶提出了一个似乎过于乐观，甚至鲁莽的解决方案。 他声称可以使用等效的简单正弦波总和来代替任何初始温度分布模式。
正弦波是他的基石，他之所以选择它们，是因为它们使问题变得更加简单。 他知道，如果温度分布以正弦波模式开始，那么当棒冷却时，它将保持这种模式。
关键是，正弦波不会四处移动，它们会留在那里。 事实上，当它们的热点冷却而冷点升温时，正弦波就会减弱。 但这种衰减很容易处理，它只是意味着温度变化会随着时间的推移趋于平缓。 如下图所示，初始温度分布模式（虚线正弦波）逐渐减弱，看起来像一个固体正弦波。
重要的是，当正弦波减弱时，它们是静止的。 也就是说，它们是驻波。
如果傅里叶能找到一种方法将原始温度模式分解为正弦波，他将能够分别解决每个正弦波的热流问题。 他已经知道这个问题的答案：每个正弦波都呈指数衰减，其衰减率取决于它有多少个波峰和波谷。 波峰越多的正弦波衰减得更快，因为它们的热点和冷点更紧密地堆积在一起，这使得它们之间的热交换更迅速，从而更快地达到热平衡。 在了解了每个正弦波的衰减后，傅里叶所要做的就是将它们重新组合在一起以解决原来的问题。
这一切的困难在于，傅里叶无意中调用了正弦波的无穷级数。 他再一次召唤了无限的“傀儡”来计算微积分，而傅立叶比他的前辈们更拼命地这样做。 他没有使用三角形碎片或三角形数的无穷级数和，而是随意采用了波的无穷级数和。 这让人想起牛顿对幂函数的无穷级数和的处理，只是牛顿从未声称他可以描述具有不连续跳跃或急转弯等可怕特征的任意复杂曲线。
另一方面，傅立叶声称转弯和跳跃的曲线并没有吓倒他。 此外，傅里叶正弦波自然产生于微分方程本身，从某种意义上说，它们是微分方程的固有振动模式或固有驻波模式，是为热通量体制作的。 牛顿不认为幂函数是构建块，而傅立叶则将正弦波视为构建块，并认为它们与热流问题有机地匹配。
尽管傅立叶大胆地使用正弦波作为构建块引发了争议，并造成了一个棘手的严谨问题（数学家花了一个世纪的时间才解决它），但在我们这个时代，傅立叶的伟大思想在计算机语音合成器和用于医学成像的MRI扫描等技术中发挥了重要作用。