数论为我们提供了取之不尽用之不竭的有趣真理——这些真理不是孤立的，而是内在联系的，随着我们知识的增长，我们会发现它们之间新的，有时甚至是完全出乎意料的联系。 ”
高斯。 作者 |丁九（美国南密西西比大学数学系教授）。
读者，将一张纸卷成圆柱形，找到一个铅笔尖，将其底部靠在圆柱体的外侧，笔尖向外垂直于圆柱面。 如果保留两支铅笔，则绕圆柱平面转一圈，或者更一般地说，使铅笔垂直于圆柱平面，并绕其上任何不越过边界周长的闭合曲线移动，您会看到铅笔的点不断移动，最后回到原来的位置。 如果将铅笔尖的底部靠在纸筒的内侧，并在圆圈内做同样的事情，结果将是一样的。 这意味着圆柱面是“双面”的，它有内侧和外侧。 通过在其两条边之一上指定一个固定边，依靠“右手定则”来确定曲面上任何闭合曲线的方向——向前和向后。 这是每个孩子都能理解的几何现象。
研究过曲面积分的读者都知道，作为积分区域的曲面必须是侧定的，否则曲面积分就无法讨论。 上世纪80年代，我在密歇根州立大学数学系的博士生导师李天燕教授告诉我，他教给初中儿子拓扑学的概念：拿一张窄纸，而不是像上面这样把两个短的相对边粘在一起，形成一个短的圆柱面; 取而代之的是，其中一个短边扭曲 180 度，然后粘附在另一个短边上。 这也会导致纸张表面。 然后，他让儿子做与上一节相同的测试，结果发现，当铅笔在一个方向上绕着一个闭合电路，这个方向几乎与长对面几乎相同，并保持垂直于表面时，铅笔尖的末端方向与原来的方向相反！ 当然，当闭合电路小到足以围绕表面上的一点形成一个圆时，这种现象不会发生，但是导致“方向反转”异常的闭合电路的存在充分说明了这个奇怪的表面具有与普通圆柱面完全不同的拓扑性质。
这个奇异的表面是“片面的”，没有得到微积分大楼的房卫的认可，但它不仅具有视觉性，而且内涵丰富，它的专业名称是“M Bius Strip”，以发现者的名字命名。
1.德国数学家和天文学家奥古斯特·费迪南德·比乌斯（1790-1868）的姓氏。 比他早几个月的另一位发现者是德国数学家约翰·本尼迪克特·李斯特（Johann Benedict Listing，1808-1882）。 莫比乌斯带是莫比乌斯一生中最著名的数学发现，因为人们一眼就能理解它。 然而，从他鲜为人知的数学著作中得出的莫比乌斯反演公式是本文的主题。
莫比乌斯反转。
莫比乌斯反演公式最原始的思想是，我们熟悉级数部分以及级数与常用项级数之间的简单双边关系。 级数的前 n 项的各部分之和为。 相反，级数的第 n 项可以写成 a=s-s（约定 s=0）。 如果定义特殊级数：=1、=-1，当 n 2 时，=0。 那么上面的部分和与一般术语的“相互表达”是当且仅当。
莫比乌斯反演公式有许多推广和变体，但最著名和最简单的一个是“经典”，在数论和组合学中有许多用途。 为了理解这个原始公式，需要引入几个基本术语。 首先，所谓的“反转”是中学代数中反函数概念的概括。 当函数 y=f（x） 将不同的自变量值 x 反射到定义的域上的不同函数值时，函数 f 导致相应的逆函数 f，该函数将 f 的函数值 y 反射回导致该值的自变量的值：x=f（y）。 这样，函数定义域中的所有 x 和值范围内的所有 y 都建立了一对“反转关系”：y=f（x） 当且仅当 x=f（y）。 例如，函数 y=x 的倒数是 x=y。 虽然一个函数有一个反函数，但我们不能为它写代数表达式。 初等数学中可逆函数和逆函数的逆表示可以推广到更高、更抽象的数学。
例如，如果在整个自然数上定义的所有序列都写成 x，并且如果存在将 x 的每个序列镜像为序列的对应关系 t，则这种变换通常被称为“运算符”，尤其是在泛函分析学科中。 如果 t 将不同的序列镜像到不同的序列，则存在逆运算符 t，它将 t 范围内的每个序列镜像回其 ** 序列，即 =t 当且仅当 =t。 这也给出了反转关系。
现在，我们可以描述数论中经典的莫比乌斯反演公式。 设 f 是一个“算术函数”，即它的域是所有自然数的集合，函数的值是一个复数。 当然，算术函数可以等同于它在所有自然数上的值序列。 在数论中，如果自然数 d 是自然数 n 的因数，即 n=dq，其中 q 也是自然数，那么这个关系写成 d|n。对于所有自然数 n，以下公式。
定义了一个新的算术函数 g。 那么将 f 镜像到 g 的算子 t 有一个逆算子，它的表达式就是所谓的莫比乌斯反演公式。
i） 在上面定义的地方，它被称为“莫比乌斯函数”：1）=1;如果 n 是 k 个异质素数的乘积，则 （n）=（-1）; 如果 n 的素数分解包含素数平方，则 （n）=0。
从历史上看，莫比乌斯反演公式的来源是莱比锡大学莫比乌斯教授于 1832 年用德语发表的一篇文章**，翻译成英文为“一种特殊类型的级数反演”）。然而，本文所研究的“反演问题”与上述（*）和（i）无关，而是在级数变换的逆级数变换f（x）=中寻求系数级数与原始系数级数之间的关系。 然而，在这篇在数学史上留下名字的文章中，他给出了后世命名的莫比乌斯函数的表达式，以及它的因数和公式。
莫比乌斯函数。
鉴于莫比乌斯函数在反转公式中发挥的关键作用，让我们来看看它的基本性质。 让我们熟悉一下莫比乌斯数列中的前十几个数字：（1）=1、（2）=-1、3）=-1、（4）=0、5）=-1、6）=1、7）=-1、8）=0、9）=0、10）=1、11）=-1、12）=0。该函数的第一个基本性质是它是乘法的，即只要有两个自然数 m 和 n 是互质的（除了 1 之外没有正公因数），方程 （mn） = （m） （n） 成立。 事实上，当mn=1时，m=n=1，所以（mn）=1=（m）（n）。 如果 mn>1，则设置 m=p...。p 和 n = q....q，其中 p ,...、p 和 q,...，q 是不同的素数，则 （mn）=（-1）=（-1）（-1）= （m） （n）。当 m=1 或 n=1 时，上面的等式也成立（请注意 1 不是质数）。 现在 m 和 n 中至少有一个是质数平方的因数，那么素数的平方也是 mn 的因数，所以 （mn）=0= （m） （n）。 以上是直接证明，作为练习，读者也可以用数学归纳法给出第二个证明，这是训练大脑的好机会。 从 0 = （4）≠ （1）（-1） = （2） （2） 开始，莫比乌斯函数不是“完全乘法”的，即方程 （mn） = （m） （n） 并不总是成立。
根据定义，（1）=1。 让我们证明一个非常有用的方程：对于任何自然数 n，大于 1
例如，当 n=20=2·2·5 时，其正因数为 1、2、4、5、10、20，因此存在。
上面的例子隐藏了等式（1）证明的想法。 根据算术基本定理，让 n 的素数分解，由于 n 的因数 d 是平方数 （d）=0 的倍数，因此方程 （1） 左边的总和只需要考虑为 p 和 p ,...，是 p 中一些不同数的乘积，d = 1。 这些 d 是： 1=c（k， 0） 1， c（k， 1） p， c（k， 2） pp， ....c（k， k） = 1 pp....p，其中 c（k， i）=k！/[i!(k-i)!] 是从 k 个对象中一次选择 i 以形成一个组的所有组的数目。因此，二项式定理，
现在让我们开始证明莫比乌斯反演方程 （i）。 首先，根据算术函数 g 的定义，交换和的顺序（原理等价于将一组有限的数字分成两种方式的组，将组中的数字相加，然后将每种方式的总和数相加。 在最简单的情况下，将一组排列在长矩阵中的数字相加，无论它们是逐行相加还是逐列相加，结果都是一样的，即（i）的右端。
当 c = n 时，当 1 c
这证明了（i）。
从算术函数 f 到算术函数 g 的函数值 g（n），由于方程 （i） 的定义和反演仅以有限和的形式表示，因此我们只使用莫比乌斯函数和方程 （1） 的因数来证明莫比乌斯反演公式 （i） 在“初等位置”。 同理，可以证明，如果 f 和 g 满足 （i），那么它们也满足 （*） F 的 M Bius 变换和 F 的逆 M Bius 变换称为 f。 请注意，还有一个英文数学术语 m bius 变换，在中文中也被翻译成“莫比乌斯变换”，它指的是将复数镜像为复数 w=（az+b） （cz+d） 的线性分数变换。
如果 f 和 g 在莫比乌斯变换中分别被 in f 和 in g 替换，则 （*） 和 （i） 以乘法的形式暗示以下莫比乌斯反演公式。
当且仅当
mi） 莫比乌斯函数是多产的，其因子求和算术函数通常表示为 ，（n）=满足 （1）=1 和 （n）=0（n>1）。显然，这也是一种产品功能。 这个性质可以推广为一般结论，即如果算术函数 f 是生产性的，那么由 （*） 定义的算术函数 g 也是生产性的。 可以这样证明：让自然数 m 和 n 互助。 由 （*） 定义。
因为 m 和 n 除了 1 之外没有正公因数，所以 d = ab，其中 a|m 和 b|n。显然，A 和 B 是相互的，所以有。
狄利克雷卷积。
研究过傅里叶变换的读者会熟悉函数之间的卷积运算。 两个函数 f 和 g 的卷积 f*g 定义为一个函数和另一个函数在反射和位移后的乘积的积分，表示一个函数的形状如何被另一个函数改变。 如果 f 和 g 的定义域都是整个实数轴，则它们的卷积是。 使用积分的变量代换方法，很容易证明f*g=g*f，即卷积运算充满了**变化规律。 傅里叶分析中的卷积定理说，如果 f 和 g 分别是 f 和 g 的傅里叶变换，那么 f 和 g 乘积的逆傅里叶变换就是 f 和 g 的卷积。 拉普拉斯变换也有一个类似的卷积定理，常用于工程数学。
那么，卷积的思想和方法是否也与“莫比乌斯反演”有关呢？ 答案是肯定的！ 这是数论中用于算术函数的狄利克雷卷积，这个概念只是莫比乌斯反演的直接扩展。 它的定义与莫比乌斯反演方程（i）右端的表达式非常相似，只是莫比乌斯函数被一般函数所取代：设f和g为算术，则f和g的狄利克雷卷积为算术函数。
很明显，狄利克雷卷积也像整数乘法一样是交换的。 此外，在函数的加法和狄利克雷卷积的“乘法”内涵下，所有算术函数的总和也像所有整数的整数一样形成一个可交换的环，称为狄利克雷环。 整数环的乘法单位是正整数1，而狄利克雷环的乘法单位是前面提到的算术函数，其正式名称为“恒等算术函数”，具有恒等式。 当然，这并非巧合。 事实上，使用与上面的莫比乌斯反演公式相同的方法，可以快速验证 f* = *f=f。
此外，狄利克雷卷积与整数乘法一样，满足关联和分配性质：（f*g）*h=f*（g*h） 和 f*（g+h）=f*g+f*h。 在狄利克雷环的情况下，当且仅当算术函数 f 满足 f（1）≠0 时，它具有狄利克雷逆函数，即存在一个算术函数 f，使得 f*f= 。 特别是，常数函数 1 的狄利克雷逆函数是莫比乌斯函数，即在下一个参数中存在关系 1* = 必需。 在这里，我们用 1 来表示一个函数，在一组自然数上到处都是 1 的函数，它的名字是“单位算术函数”。
借助强大的卷积工具，我们可以更简洁地证明莫比乌斯反演公式。 首先，方程 （*） 可以写成卷积形式 g=f*1。 此外，反演方程（i）从右到左的推导过程为。
反之，在（i）为真的条件下，通过以下步骤推导出（*）为真：
可以看出，在狄利克雷卷积的背景下，经典莫比乌斯变换的公式为：
g=f*1 当且仅当 f=g*。
一般的理工科学生可能从傅里叶级数或偏微分方程边界值问题中知道了德国数学家Gust** Lejeune Dirichlet（1805-1859）的名字，但不要误以为他只是“解析数学”，因为今天几乎所有的数学家都精通一门手艺。 他还是数论大师，开创了解析数论的分支。 功能的现代定义也源自他，使当今世界各地的中学生都能从这个最合理的定义中受益。
由于莫比乌斯反演只是单位算术函数 1 的狄利克雷逆是莫比乌斯函数这一事实的“同义词”，因此原始莫比乌斯变换双公式 （*） 和 （i） 可以立即推广为以下一般反演公式： 假设算术函数有一个狄利克雷逆，那么。
当且仅当更简洁、更引人注目的卷积形式是 g= *f 当且仅当 f= *g。 如果你把卷积符号看作是小学生都知道的算术乘法符号，那么当且仅当 3=2-1 6 时，它就会像 6=2 3 一样简单。 由此可见，抽象数学并不是那么难懂的。
我们给出了经典莫比乌斯反演公式的另一种推广，该公式将自然数集上定义的算术函数推广到域 [1， . 为了显示与之前定义的域的差异，此处的函数将用大写字母表示。 设 f 和 g 是两个函数，它们将 [1 反射成一组复数，满足方程。
其中 [x] 是小于或等于 x 的最大自然数。 我们将推导出以下反演公式。
其实，只要用和证明（i）一样的方法，从（ ）的右端推导出到左端：
上面的第二个等号是因为按 mn=k 分组，重新排列了求和的顺序。
在离散情况下，对应于一般式 （ ）、（ ） 和 （ ） 的广义形式为：
当且仅当欧拉函数。 由于经典的莫比乌斯反演公式是为数论而创建的，因此不给出它在数论中的具体应用似乎是不合理的。 让我们以数论中著名的欧拉函数为例。 该函数由莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）于1763年引入，其在自然数n处的值（n）定义为不大于n且与n互质的自然数个数。 前十个欧拉函数值为 （1）=1， （2）=1， （3）=2， （4）=2， （5）=4， 6）=2， 7）=6， 8）=4， 9）=6， 10）=4。
由于每个自然数都是素数的乘积，因此我们计算多少 （p） 等于素数，其中 p 是素数。 从 1 到 p 的 p 和 p 的自然数之间的最大公因数只能是 1、p、p,...，p，因此与它的最大公因数大于 1 的自然数是 p、2p、3p,...，pp=p，它们总共有p，剩下的自然数与p互化，所以有公式（p）=p-p。
欧拉函数是积分的，即对于任何互质自然数 m 和 n，都有 （mn）= （m） （n）。 我们只简单地证明 m = p 和 n = q，其中 p 和 q 是异质素数，并且通常可以证明相同的方法。 从上一段中我们知道，在小于p的自然数中，有（p）=p-p和p互质素数，它们的集合是p; 同样，在小于 q 的自然数中，有 （q）=q-q 和 q 是互素数，它们的集合是 q。 根据中国余数定理，这两个集合的乘积 p q 与所有不大于 pq 且与它们呈素数间数的自然数呈一一对应关系。 换句话说，假设给出 p 中的数字 A 和 q 中的数字 b，并给出数字 ab
对于任何自然数的质因式分解，确定欧拉函数的乘积，称为欧拉乘积公式。
上面用到的汉语余数定理又称孙子定理，这个“孙子兵法”与《孙子兵法》无关。 在南北朝的《孙子经》中，有一个算术题：“有些东西不知其数，剩三三，剩五五，剩七。 问事物的几何形状？ 最小数的答案是 23，其解的理论化成为关于一元线性全等方程组的“孙子定理”。 这里只给出了两个方程的特殊版本：让整数 m 和 n 相互启动。 然后对于任何整数 a 和 b，一个全等方程。
有一个解 x = 和 + bcm，其中整数 c 和 d 满足 cm + dn = 1。
现在让我们对欧拉函数的因数求和： . 多少钱？ 当 n=p 时，则。
当 n = pq 时，则 n 的每个因数都可以写成 p 的因数和 q 的因数的乘积，所以有。
在正确的一般情况下，事实证明它本质上是相同的。 演示的公式。
由卡尔·弗里德里希·高斯（1777-1855）创立。 如果我们使用狄利克雷卷积形式，它是 *1=id，其中 id 是恒等函数。
莫比乌斯反演公式现已推出。 将 （i） 应用于上面的高斯方程，得到以莫比乌斯函数表示的欧拉函数。
上面的表达式为找到欧拉函数的狄利克雷逆提供了线索。 从 （n） 表达式中删除 n 并将 d 向上移动到分子中的分母定义了一个算术函数。 然后，因此。 圆多项式。
让我们对一类多项式使用莫比乌斯反演公式。 多项式方程 z-1=0 的复解称为 1 的第 n 次方根，它们是。
，那么上面的n个根可以写成：的幂，其中k和n的幂是1的原始根。 原初根的等效定义是它是 z-1 的根，但不是任何低多项式 z-1 的根。 原始根具有以下属性：implicit n|l。
给定 n，其根恰好是所有原始根的第一个多项式称为 n 阶的圆多项式，即
在上面的等式中，gcd（k， n） 表示 k 和 n 的最大公因数。
对于任何第 n 个根 z，使得方程 z=1 成立的最小自然数 d 称为 z 的阶数，它满足 d|n。此属性可用于证明以下多项式方程。
事实上，设 z 是 （**） 中右多项式的零点，那么对于 n 的正因子 d，则 z=1。 设 n=dm，则 z=（z）=1=1。 另一方面，如果 z = 1，则 z 的阶数 d 可以被 n 整除，因此 z 是 1 的原始 d 根，即它是圆多项式的零点。 （*公式。
将莫比乌斯反演公式 （MI） 的乘法形式应用于分数圆多项式的显式表达式：
无限级数。 到目前为止讨论的级数都是“无穷级数”，即无限数的和。 考虑下面的几个无穷级数，在进行“级数一般项群重排”的莫比乌斯反转手术时，需要保证操作是正确的，而手术成功的充分条件是相关级数的“绝对收敛”，一旦无穷级数发布，这个假设就不作解释。 原因很简单：仅仅一个有条件收敛的级数就可以重新排列一般项的级数，以便新级数改变其总和。 让我们首先考虑一类特殊的系列，以博学家约翰·海因里希·兰伯特（Johann Heinrich Lambert，1728-1777）的姓氏命名。 对于无限序列，假设 |x|<1，使用比例级数求和的公式，有。
上述方程的左端称为朗伯级数，右端表示它等于幂级数，其中总和特别满足 （*），如果由于存在恒等式。
如果你拿走，那么。 将 x=e 替换为 Lambert 级数公式中的变量，得到它的另一种形式：
类似的方法可以应用于所谓的狄利克雷级数。 使用与 Lambert 级数相同的技术，将黎曼函数的级数表达式乘以狄利克雷级数。
特别是，f（n） 是莫比乌斯函数 （n），因为（参见前面的狄利克雷卷积方程 1* = ），我们得到函数倒数的级数表达式。
一个更一般的方程可以通过 （$ 公式的证明思想来推导。
意外连接。
在这一点上，没有一个莫比乌斯反演公式及其应用超出了纯数学的领域。 难道它没有在其他学科中得到应用吗？ 至少英国数论家戈弗雷·哈罗德·哈德（Godfrey Harold Hard，1877-1947）坚信，只有微积分这样的“低级数学”才能被应用科学家玩弄，数论被数学王子高斯视为“数学女王”，他只能欣赏它的美，却不能被分配任务。 全球物理学界似乎并没有真正关注莫比乌斯反演公式。 直到1990年，顶级物理学期刊《物理评论快报》（Physical Review Letters，简称PRL）在第64卷第11期刊登了一篇由中文单独署名的**，甚至惊动了当时的《自然》主编，为其发表了整版的评论。
中国学者陈南贤（1937-）毕业于北京大学物理系，1984年获宾夕法尼亚大学电气工程与科学博士学位。 这篇独特的文章发表七年后，他被选为中国科学院院士。 文章的标题是“修改莫比乌斯反演公式及其在物理学中的应用 rev. lett. 64，1193；1990）”。
那么，陈教授修正的莫比乌斯反演公式是什么呢？ 它与经典公式在形式上最大的区别在于，新公式是一对无穷级数表达式，而后者是前者的逆表示（为了与本文符号的一致性，我在原文中将a改为g，b改为f，x）。
当且仅当 (cnx)
乍一看，上面的公式与前面的公式（**和（ ）的不同之处仅在于将无穷级数替换为无穷级数。 恰恰是从贫困到无穷的飞跃，让人觉得证明不会那么“初级”，必须插入极限思维才能有所帮助。 事实是，作者在文章末尾的附录中提供的证明还是初级的，唯一附加的条件是所讨论的系列的绝对收敛，这是很自然的。 不幸的是，在《数学年鉴》（与PRL相提并论的领先数学期刊）等数学期刊的眼中，有些地方的写作缺乏严谨性，写作就是一个例子。 这或许就是理论物理学家的写作风格，要知道杨振宁先生曾经说过一句名言：“现代数学书可以分为两种，一种是一页都看不懂，一种是一行都看不懂。”
我正在看Hardy&Wright（e.）。 m.Wright， 1906-2005）发现，在本书的第237页，定理270[令我惊讶的是，这本书在短短400多页中就有460个定理！ 我读过的另一本书是《代数特征值问题》（The Problem of Algebraic Eigenvalues），作者是詹姆斯·威尔金森（1919-1986）也是英国人，他有一本更大的书（662页），但只列出了四个编号的定理。 ]，这与陈教授用来求解三个物理逆问题的广义公式（cnx）基本相同：
当且仅当 (hw)
在证明了书中经典的莫比乌斯反演公式（i）和实际变量情况（ ）的广义形式之后，上述两位作者迫不及待地把证明定理270的任务交给了读者：读者在定理263的帮助下构建证明应该没有困难; but some care is required about convergence.（读者在定理 263 的帮助下构建证明应该没有困难; 但需要注意趋同。 受此鼓舞，我把我的论文摊开，做了他们布置的练习，发现它几乎和证明（ ）一模一样。 接下来，我将使用相同的方法来证明家庭作业 （HW） 问题 （HW） 验证 （cnx）：
上面的第二个方程是正确的，因为数字的无限平方矩阵具有以下对求和进行分组和重新排列的方法：
其中，订单。 这样，使用具有无限复数的 One 而不是有限和。 当然，正如我上面所说，需要事先假设相关系列的绝对收敛性。 这里，条件是：
其中 d（k） 是 k 的正因子数。
由于莫比乌斯函数是单位算术函数 1 的狄利克雷逆函数，因此同样的推理证明了比 （cnx） 更“修正”的莫比乌斯型反演公式：对于狄利克雷逆的算术函数，当且仅当 （gcnx）。
及其等效形式。
当且仅当 (ghw)
希望这两个公式也能在物理科学中得到应用。
陈南仙院士不仅在研究上富有创造力，而且热衷于为公众写作。 我是如此闻所未闻，直到 2020 年我才知道他的名字，当时我读到他为《数学文化》写的一篇漂亮的文章，“他的人民和他的事务的终结”。 标题中的“莫弼”是他采用的M比乌斯的译本，原因在文章第一段：“笔者认为精通英德读音的王竹熙先生（1911-1983）译得最好：莫弼。 “我惊叹：物理学家是不同的！ 同时，他也纳闷：为什么自己对莫比情有独钟？ 现在我恍然大悟：30年后，德国数学家们在一个半世纪后找到了这位中国物理学家的知心朋友！
因为陈南贤教授的PRL**吹响了将数论的旗帜插在物理山顶的号角，世界顶级期刊《自然》当年自然对他格外关注。 主编约翰·罗伊登·马多克斯爵士（1925-2009）在1990年3月版的《新闻与观点》第344卷上写了一篇一页的评论，其中预设了：“谁说数论是纯粹的学术，与实用性无关？ 古代的莫比乌斯定理，出乎意料地被证明对解决物理反演问题有用，可能有重要的应用（谁说数论是严格的学术？ an old theorem due to mobius has unexpectedly proved to be a way of solving physical problems of inversion that may h**e important applications)。这篇评论称赞陈“通过他巧妙的应用将莫比乌斯反演定理付诸实践”，并列举了这位富有创造力的物理学家在他的PRL**中详述的三个实践例子。 在评论的最后，主编认为有理由猜测，“陈的证词表明，即使是莫比乌斯也在阻止现代世界的奥秘，现在将有一小群人搜索现代世界的奥秘，希望在以前可能被误认为贫瘠土地的领域找到其他有用的工具。 ( it is fair to guess that, with chen's proof that even mobius has something to tell the modern world, a small army will now be scouring the literature of the theory of numbers in the hope of finding other useful tools in what may h**e been unjustly regarded as a backwater.)”
他是对的。 纯数学的种子，无论是永恒的公式还是热气腾腾的理论，只要它们在广阔的物理世界中广泛播种，就有可能结出果实。 物理学家们，多接触数学吧！ 数学家们，和物理学家交朋友吧！
本文由科普中国明星计划项目支持，由中国科协科普部出品，中国科技出版社监理，北京中科银河文化传媒***
*：回归基础。 编辑：wnkwef