在17世纪的法国，数学家皮埃尔·德·费马奇（Pierre de Femachi）是一名法官，但作为一名业余数学家，他对数学的深厚热情和对数论领域的杰出贡献在数学史上占有不容忽视的地位。 许多费马猜想和定理不仅在当时引起轰动，而且至今仍是数学家研究的焦点。 他没有发表正式的**，而是通过与当时其他数学家的通信来传达他的发现，这些笔记与个人笔记一起，后来成为数学史上的无价之宝。 费马非常热衷于数论和数学问题的研究，他致力于素数及其性质的研究。 特别是，他对形式 2 （2 n）+1 的数字表现出极大的兴趣。 这些数字后来被称为费马数，由于它们的特殊形式和数学性质，它们引起了费马的极大关注。 
费马对这些数字的研究与他寻找更大素数的愿望有关，在研究这些数字的过程中，他提出了一个猜想：所有这些数字都是素数。 前 5 个费马数也验证了他的假设：
然而，随着 n 的增长，费马数的大小呈指数级增长，这使得验证它们是素数变得极其困难。 在费马的时代，没有有效的算法或足够的计算能力来处理如此大的数字。 这也是他的猜想，形式 2 （2 n） +1 的数字也是素数。 直到18世纪，伟大的数学家欧拉才挑战了费马猜想。 他发现下一个费马数 f 5 = 2 （2 5） +1 不是质数（它只能称为费马数），因为它可以被 641 整除（如下式所示），这个结果推翻了费马猜想。 
数学家们继续探索，另一位伟大的数学家高斯将费马数的研究与几何学中的另一个千年挑战联系起来，这涉及古希腊数学中著名的尺度和量规绘制问题之一：如何构造任意正多边形。 高斯在这个问题上取得了突破，发现了费马数在正多边形构造中的决定性作用。 请参阅文章“高斯在 1801 年解决了千年之谜：可绘制多边形的问题”，之前由 Meet Math 发表。 尺子绘图是一个古老的数学问题，涉及使用没有刻度的尺子和指南针绘制几何形状。 古希腊数学家对如何用尺子绘制任何正多边形非常感兴趣。 他们首先发现，正三角形（3 条边）和正方形（4 条边）可以很容易地用尺子和指南针构建。 此外，古希腊人通过中心多边形构建了更规则的多边形。 如果可以构造正多边形的中心角，那么可以用尺子和指南针构造相应的正多边形。 通过依次将中心角分为两部分，他们能够构建一个具有 4、8、16、32 ,..的系统4n 边正多边形，以及 3、6、12、24 ,..具有 3n 条边的正多边形。 除了中心角倍增法外，古希腊人还知道如何构造正五边形。 由于正五边形的中心角是72°，他们利用这个角度，结合正三角形的120°中心角，构造了一个正五边形。 这是以几何方式完成的，以获得新的中心角：2 72 - 120 = 24°。 因此，他们还可以建造 15、30、60、120 ,..具有 15n 条边的正多边形。 然而，对于更一般的 n 边形，例如正多边形，古希腊数学家不知所措。 
这个问题一直没有得到解决，直到两千年后的19世纪初，年轻的数学家高斯一劳永逸地解决了这个古老的问题。 在他的著名著作《算术研究》中，高斯证明了当且仅当 n 是费马素数或不同费马素数的乘积时，可以使用指南针和直尺制作规则的 n 边形状。 这样，高斯不仅解决了问题，还给出了一个完整的理论：哪些正多边形可以用尺子画出来，哪些不能。 这一结果对理解尺图的可能性和局限性具有深远的意义，不仅证明了数论在几何构造中的应用，而且展示了不同数学领域之间的深刻联系。 高斯的发现激发了人们对费马数研究的新兴趣，数学家们试图找到更多的费马素数，但直到现在，还没有发现新的费马素数。 这就引出了一个自然的问题：我们都知道所有五个费马素数吗？ 在这方面，现代数学家倾向于相信不再有另一个费马素数，尽管这还没有得到严格的证明。 由于费马数的稀有性及其在数论中的特殊地位，这个问题仍然是数学中的热门话题。