在数学研究和实际应用中，经常涉及各种发散级数。 数学家试图客观地为这种发散级数分配一个实数或复数值，定义为相应级数的总和。 本文介绍了两种最广为人知的发散级数广义求和方法，阐释了切萨罗求和背后的均衡思想和遍历理论，并给出了一个有趣的方程证明。
撰写者 |丁九（美国南密西西比大学数学系教授）
在初等微积分中研究过无穷级数收敛理论的读者可能会问：“如果级数发散，它们怎么能相加？“是的，他们的怀疑是值得称赞的，应该大力推广。 但是，本文将讨论如何找到发散级数的“广义和”。 这是一个有趣而有用的问题，因为不仅在数学中，许多级数不幸地发散，而且在物理学中也是如此。 正如力学家孙伯华教授最近告诉我的那样，求解玻尔兹曼方程的“查普曼-恩斯科格展开”是一个棘手的发散级数问题，玻尔兹曼方程描述了非平衡热力学系统的统计行为。
收敛还是发散，这是个问题。
任何标准的微积分教科书都严格定义何时将级数称为“收敛”，收敛级数的“和”是什么，以及何时将级数称为“发散”。 给定一个无穷级数。
其中 an 是实数的无限序列，称为级数的总称。 （在本文中，我们不添加括号“”或括号“（为了简明扼要地显示符号，因此 a 既表示序列的第 n 项，也表示序列本身，就像 f（x） 表示 x 中函数的值和函数本身一样。 ）
定义给定级数的部分和级数，即 s 是级数的前 n 项之和。 因为项的数量是有限的，所以每个部分和 s 都是一个可以计算的数字。 如果当 n 趋于无穷大时，零件和序列 s 收敛到一个数字 s
也就是说，它被称为系列。
收敛并收敛到 s。 在这种情况下，s 称为级数之和，并被写入。
s=
在本例中，
具有一定的数学意义，它表示一个称为“级数和”的实数。
相反，如果当 n 趋于无穷大时，零件和级数 Sn 不收敛到一个数字（也称为散度），则给出级数。
也说是发散的，这个时候，
它只是一堆数学符号的混合体，不代表任何数字，没有任何数学意义，更不用说求和了。 但是，无穷级数的求和是基于对“和”的合理定义，而由于经典定义不能对级数求和，我们寻找的是能否对定义进行补充，“广义求和”。
发散级数的“广义求和”首先需要一个合理的定义。 这里的理性自然包括两个基本要求的满足。 一是，如果级数本身已经收敛到通常意义上的，那么广义求和法得到的“和”应该等于原意义上的级数之和。 这一要求表明，“广义求和”具有“狭义求和”的“世袭性”。 另一个要求是基于传统求和方法的线性性质。 我们知道微积分中的许多运算，如极限、导数、积分等，都具有线性特性，如代数推导律[af（x）+bg（x）]。'=af'(x)+bg'(x)。序列也有类似的断言：if。
和。 
如果两者都是收敛级数，并且 c 和 d 是常数，则级数也是收敛的，并且有一个方程。
我们希望发散级数的广义求和也保持此性质。
切萨罗求和。
如何定义满足上述两个合理条件的发散级数广义求和方法？一个好主意是“平均”，或者使用一个更时髦的术语：“切萨罗算术平均”。 这种方法用于处理非收敛序列，根据定义，序列的收聚或发散实际上是关于给定序列的部分和序列。 因此，让我们考虑如何将非收敛序列转换为“收敛序列”。 让我们从一个简单的例子开始。
考虑序列 a=（-1） （n-1）。 它是在 1 和 -1 之间交替的无限数字序列，当然不会收敛。 但是，如果我们取本级数前 n 项的算术平均值，我们得到。
切萨罗算术平均序列，称为原始序列 A，被写出。
因此，当 n 趋于无穷大时，an 趋于 0。 这样，对于这个发散序列，通过平均，我们得到了一个收敛序列。
通常，对于序列 an，如果它对应于 Cassalon 算术平均序列。
收敛和收敛到极限 l，则称原始序列 an 收敛并收敛到 l，在切萨罗算术平均值的意义上。 数学平均的想法不仅有助于数字序列的收敛，而且还使统计物理学成为一门受人尊敬的学科。 即使就人类社会的福祉和稳定而言，现代国家在税收上实行的“富人多交税，穷人得福利”的政策，也大多体现了仁慈的平等主义思想。
埃内斯托·切萨罗（1859-1906）是意大利微分几何学家。 尽管他写了一本关于纠角几何的书，其中描绘了一类现在被称为“切萨罗曲线”的分形，以及几本关于微积分的教科书，但他提出了一种平均方法来收敛潜在的发散序列，这将对后代产生最大的影响。
读者自然会问，如果数字序列已经收敛，它的一系列切萨罗算术平均值是否也收敛并收敛到相同的极限答案是肯定的。 这是序列极限理论中的一个简单的命题，在这里我们不妨证明一下，顺便回顾一下极限的“-n”语言。 设置一个 l。 假设给定一个正数，有一个自然数 m，使得对于所有自然数 n>m，不等式 |a-l|m，有。
由于 m 是固定的，因此当 n 趋于无穷大时，上述不等式右端的第一项趋于 0，因此存在一个自然数 n>m，使得当 n > n 时，该项小于 2，因此。
认证。 此外，很明显，Cesaro平均运算是线性的，即序列Can+DBN的Cesaro平均值等于C的Cesaro平均值乘以A加上D的Cesaro平均值乘以B。 再次取极限，可以看出Chezarro平均值的极限运算满足线性性质。 这样，如果将用于发散序列的Chezaro算术均值方法移植到发散序列的广义求和中，则该方法满足上述遗传力和线性两个基本要求。
总而言之，我们有发散级数的切沙罗广义求和算术平均方法：对于给定的发散级数。
如果是零件和序列。
在切萨罗算术平均值的意义上收敛到极限 s 称为初级数。
在 Chesaro 算术平均值的意义上，有广义和 s。 综上所述，我们知道，如果级数本身收敛到 和 s，那么它也会收敛到 Chezaro 算术平均意义上的广义和 s。 此外，切萨罗的广义求和算术均值法是一种线性广义求和法。
举一个历史上简单且众所周知的发散级数的例子：
它的部分和序列是 s=[1-（-1）] 2。 对于所有自然数 k：s （2k-1）=1 和 s 2k=0，因此序列 s 不收敛，因此级数发散。 另一方面，零件和序列的 Chesaro 算术平均值列为：
因此是 1 2. 或者，换句话说，在切萨罗算术平均值的意义上给出的系列的广义和是 1 2。
上述例子的原因是，十八世纪的瑞士人莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）也给出了这个系列的总和是1 2的结论。 然而，历史上最多产的数学家玩弄了无穷级数，有时过于自由，因为他偶尔会自己为非收敛点的幂级数赋值，这就是欧拉的答案：他知道著名的幂级数求和公式（即具有公共比率 r 的几何级数方程）。
其直接结果是 |r|<1）
因此，他轻率地将等式两边的 x=1 代入方程 1 2=1-1+1-1+1+1-...。然而，这与事实只有一步之遥。 今天，每个学过小学数理论的理工科学生都知道，上述幂级数的收敛半径是1，收敛区只是一个开区间（-1,1）。 因此，欧拉使用了错误的幂级数赋值方法，他得到的是发散级数的广义和。 事实上，如果他将 -1 乘以如上所述的幂级数展开式的两端，他会得到一个函数项的非幂级数。
然后以同样的方式代入 x=1，就有了同一个常数项级数的另一个“和”
这是多么荒谬的“数学”！
泊松-阿贝尔概括和。
但是，如果欧拉不使用直接赋值法，而是在方程的左端取函数 1 （1+x）。
，我们得到另一个意义上的广义总和，与切萨罗广义求和算术平均的结果相同。
推广这种方法，我们得到了发散级数的第二个经典广义求和：对于给定的发散级数。
正式写出相应的幂级数。
假设该级数满足不等式 0 的
那么这个值 s 在泊松-阿贝尔幂级数的意义上称为给定级数的广义和。 法国数学家西蒙·丹尼斯·泊松（SiméonDenis Poisson，1781-1840）在三角级数的特殊情况下使用了这种方法，但他的想法植根于下一段定理的大师，伟大但为时过早的挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802-1829），因此他们分享命名荣誉是合适的。
基于幂级数和函数极限意义上的“广义和”的定义陈述，我们想起了微积分中关于收敛区间端点幂级数性质的阿贝尔定理：假设幂级数。
收敛半径为 r>0。 如果。
收敛，则幂级数在闭合区间 [0， R] 内一致收敛。 “系列功能项。
在点 a 集上收敛到函数 f（x）“ 比在 a 上逐点收敛到 f（x） 要强得多，其定义为：
在 a 中，点 x 收敛于数 f（x），这意味着对于任何正数，都有一个自然数 n=n（x， ），这样当 n > n 时，可以看出逐点收敛定义中的自然数 n 不仅取决于 ，还取决于 x。 至于一致收敛性，在其定义中，自然数 n 的值不依赖于点 x：
一致地收敛到 a 上的 f（x），对于任何正数，都有一个自然数 n=n（ ），使得当 n > n 时，对于 a 中的所有 x，有
由于一致收敛是数学分析中的一个重要概念，我将举一个收敛不一致的级数的例子，或者问问我们的老朋友几何级数。
帮助。 该系列在 a=[0， 1] 上收敛到任何地方。 如果它一致收敛在 a to 和函数 1 （1-x） 上，那么对于一个具体的正数 =1，有一个自然数 n 使不等式。
[0， 1） 中的所有 x 均为真。 然而，初等代数提醒我们，只要。
是的，有。 这导致了矛盾。 因此，几何级数不均匀收敛在 [0， 1] 上。
如果有些读者对前一段有困难，可以这样想象“非均匀收敛”：想象一群英雄和同一组马匹同时奔向十里外的目的地。 这些人马迟早会到达终点线，但这些马远远落后于最好的跑步者。 如果把比赛看作是一系列的功能，那么每个跑者都是“收敛”的，但马和人之间的巨大速度差异导致到达终点线的速度“不那么均匀”。
在 a 上一致收敛的一个很好的好处是，只要项序列中的每个函数在 a 上是连续的，那么序列的和函数也必须在 a 上是连续的。 回到阿贝尔定理的结论，因为幂级数中的每一项都是一个幂函数，所以它自然是处处连续的，所以只要.
收敛，然后是幂级数。
求和函数 f（x） 在 [0， r] 上是连续的，尤其是在那里。
这样，如果进展。
已经收敛到一个实数s，然后是幂级数。
在 x=1 处收敛，因此根据阿伯里定理，它在闭区间 [0， 1] 中一致收敛到连续和函数 f（x），因此具有极限。
这表明基于幂级数的泊松-阿贝尔广义求和方法是遗传的。 它的线性性质来自代数运算的序列、级数和极限的线性性质。 因此，我们有了第二个广义求和，它满足遗传力和线性的基本要求。
在瑜伽和光明之间。 那么，切萨罗的广义求和算术均值法和泊松-阿贝尔的广义求和幂级数之间是否存在关系呢？是的。 它们之间的基本关系是，如果发散级数可以用前一个泛化求和，那么也可以使用后者，并且两个泛化相等。 这个结果被称为Fróbenius定理，证明如下：
到给定的系列。
切萨罗算术平均序列由假设、其部分和序列组成。
an=收敛于数 s，因此对于 any 给出的 >0，存在自然数 n，使得当 n > n 时，|a-s|
上面的公式介绍出来。 后者还保证了功率级数。
收敛到开放区间 （0， 1） 内的函数 f（x）。 由于序列 A 是有界的，并且幂级数。
收敛半径为1，级数可以已知。
另一方面，到 0 到几何级数。
逐项。
因此，有 x = 求和，作品集间隔 （0， 1） 中的每个 x，我们都有。
由于 n 是已取的正整数，而 s 是一个常数，因此当 x 1 - 时，上述最后一个不等式右端的第一项和第三项趋向于 0，因此存在一个δ>，使得当 0<1-x
由于是任意的正数，这证明了这一点。
事实上，泊松-阿贝尔广义求和幂级数法比切萨罗广义求和算术均值法更强。 为了说明这一点，我们给出了一个简单的例子。 考虑明显的发散级数（因为它的一般项数不趋向于0，这与级数收敛的必要条件相反：if 级数。
收敛，则一般项级数 A 为 0。 ）
因为。 不趋向于0，并且切萨罗的广义求和算术均值方法（1）成功的必要条件不成立，因此该方法不适用。 但另一方面，由于功率串联。
区间 （0， 1） 中有一个总和。
当 x 1 时，它接近极限 1 4，因此该数是泊松-阿贝尔幂级数意义上上述常数项的发散级数的广义和。
求出傅里叶级数在发散点处的推广，可以较好地反映泊松-阿贝尔方法优于切萨罗方法。 设 f（x） 是一个周期为 2 的周期函数，它的绝对函数可以在任何有界区间内积分。 考虑它的傅里叶级数。
哪里;a 和 b 是函数 f（x） 的傅里叶系数。 当 x 固定时，对该级数应用泊松-阿贝尔广义求和方法。 为此，我们建立了一个关于变量 r 的幂级数（因为在这种情况下，字母 x 在其他地方使用）。
傅里叶系数的一个基本性质是，当 n 趋于无穷大时，a n 和 b n 都趋向于 0，因此上述幂级数 a ncos nx + b nsin nx 的“系数序列”是一致且有界的，这导致级数为 0
重用代数恒等式。
这给出了积分表达式 f（x， r）。
上面使用的代数恒等式可以通过将左端乘以右端的分母来简化，然后在三角学中使用和差积公式，但这种方法比较繁琐。 它可以用复数缩写：order。
那么要证明的等式的左端是复数。
的真实部分，因为。
这个方程被证明，另一个恒等式被证明。
等式（3）在“广义求和”的概念出现之前，这种类型的积分通常被称为“泊松积分”。 泊松已经研究了级数（2）和“泊松核”。
以上几点。 德国数学家赫尔曼·施瓦茨（Hermann Schwarz，1843-1921）严格地证明了泊松-阿贝尔广义求和方法下以下傅里叶级数的收敛性：如果f在x点有右极限f（x）和左极限f（x），那么。
特别是，如果 f 在点 x 处是连续的，则此极限等于 f（x）。
平均和遍历理论。
然而，认为泊松-阿贝尔广义求和幂级数在解析数学中更受青睐可能是一种不正确的印象，因为它比塞萨罗广义求和算术平均法更强。 事实上，遍历理论是现代数学中的一门综合性学科，从根本上讲是关于平均数的研究。 各种“遍历定理”，说白了，就是在切萨罗算术平均的意义上，研究不同种类的“算子序列”的收敛性质。
泛函分析学者可能会认为耶鲁大学的分析大师纳尔逊·邓福德（Nelson Dunford，1906-1986）和他的学生雅各布·Schwartz，1930-2009）与人合著了经典的线性算子第一部分：一般理论，这是纯数学分支的“圣经著作”。1988-89学年，我在密歇根州立大学数学系学习博士生导师李天艳（1945-2020）讲授的《遍历理论论[0,1]》时，听到他评论说：“这本书本质上是关于遍历理论的。 “当时，我刚刚完成谢尔顿·阿克斯勒教授（1949-）教授的”高级泛函分析“学年课程，我使用的主要参考书包括著名的泛函分析学者John B.康威，1939-）。虽然我从阿克斯勒教授四分之三的精彩讲座中学到了很多东西，但我在课堂上根本没有闻到遍历理论的味道。 在听了李教授引人入胜的讲座后，我的研究兴趣从优化理论转向遍历理论。 为了确认导师“说的是真的”，也为自己尽快“上岗”打下坚实的基础，我开始阅读之前没有翻过的《线性算子I》。 全书长达730页，最后一章的标题是“应用”，是关于遍历理论的，而前七章实际上是其服务的“先决条件”。
从上世纪三十年代初冯·诺依曼的平均遍历定理和布尔霍夫的逐点遍历定理开始，在过去的一百年中出现了无数遍历定理。 作为代表，我只引用一个关于矩阵的遍历定理，因为学过初等线性代数的读者都能理解。 假设 m 矩阵 s 的所有特征值的最大绝对值为 1。 正如单位复数 e ix 的正幂序列 e inx 几乎从不收敛（读者可以使 x = 4 尝试看看会发生什么，然后检查相应的 Chesaro 算术平均序列是否有限制），矩阵 s 的正幂序列 s n 通常不能收敛，除非 s 满足其他性质， 比如它的元素都是积极的。但是，只要幂序列 s n 是一致有界的，它就是 Chezarro 算术平均序列。
当 n 趋于无穷大时，它收敛到矩阵 p。 这个极限矩阵 p 满足方程 p=p 和 sp=ps=p，因此它是一个投影矩阵，沿着矩阵 i-s 的值空间投影到 i-s 的零空间上，其中 i 是同阶单位矩阵。
只需取 2 2 的排列矩阵 s≠i 即可充分理解上述结果。 由于 s=i，很明显 s 的奇数幂等于自身，偶数幂等于单位矩阵，因此矩阵的幂序列 s 不收敛。 另一方面，简单的计算表明，当 n 为奇数时，该序列的 Chezaro 算术平均序列 a 等于。
当 n 为偶数时相等。
因此，当 n 趋于无穷大时。 不难验证 p 2=p 和 sp=ps=p，投影矩阵 p 的值空间是。
p 的零空间，而 p 的零空间是 i-s 的值空间。
不可思议的方程式。
回顾无穷级数求和的历史，在十八世纪，对微积分各部分的发展做出了巨大贡献的欧拉，有时迫不及待地检验级数是否收敛，而他那个时代的其他数学家则不顾后果地大量使用发散级数。 其中一个主要原因是欧拉认为任何发散级数都应该有一个自然和，但没有给出收敛级数之和的明确内涵。 十九世纪的柯西（1789-1857）解决了无穷级数收敛的精确含义问题，他给出了级数收敛的严格数学定义。 然后，几十年来，发散级数因为“无”和“无”而被分析家排除在外，似乎没有资格进入优雅的数学殿堂。 2024年，亨利·庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）研究了所谓的“渐近级数”，并返回了发散级数。 然后，在 1890 年，切萨罗正式定义了某些发散级数的求和，今天被称为以他的名字命名的广义求和算术平均方法，尽管它在十年前被费迪南德·乔治·弗罗贝纽斯（Ferdinand Georg Frobenius，1849-1917 年）隐含地使用过。 如今，发散级数求和的方法已成为一门科学，除了本文介绍的两种最著名的方法外，还有其他针对不同情况和目的定义的发散级数的广义求和，如黎曼求和、赫德求和、拉马努金求和等。
既然我们已经提到了传奇的印度数学天才斯里尼瓦萨·拉马努金（1887-1920），让我们粗略地解释一下为什么他的求和方法产生了这个令人瞠目结舌的结果：1+2+3+4+...=-1 12 作为本文的结局。 这个奇数和左边的级数通常被理解为发散到正无穷大，并且通常不能用切萨罗的算术平均值或泊松-亚伯的幂级数求和。 然而，在2024年2月27日写给英国数学家戈弗雷·哈罗德（Godfrey Harold，1977-1947）的第二封信中，拉马努金告诉了他这个令人难以置信的方程式。 这封信是这样写的：
亲爱的先生，我非常高兴地阅读了您 1913 年 2 月 8 日的来信。 我一直在等待你的回复，就像伦敦的一位数学教授写信给我，要求我仔细研究布罗姆维奇的无穷级数，不要落入发散级数的陷阱。我告诉他，根据我的理论，级数的无限项之和：1 + 2 + 3 + 4 + = 1 12。 如果我告诉你这些，你会立即说疯人院是我的家。 我详细阐述这一点只是为了说服你，如果我在一封信中表明我将继续做什么，你将无法遵循我的证明方法。
在拉马努金著名的《笔记本I》第8章中，他给出了两个证明，第一个是形式化的，缺乏论证，第二个使用了伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）的函数，这与严谨性是一致的。 它们描述如下：
表格“证明”：订单。
s=1+2+3+4+5+6+…将两边乘以 4 即可得到。
4s=0+4+0+8+0+12+…。
通过“插入”第一个等式来减去第二个等式，其中多个零在这里上下对齐，你就在那里。
s-4s=1-2+3-4+5-6+…，后级数和前一泊松-阿贝尔幂级数的推广均为1 4。 因此，有一个方程 -3s=1 4，解给出 s=-1 12。 这个证明当然不是令人信服的，但它激发了以下令人信服的证明。
严格证明：设Z=X+IY。 考虑黎曼函数。
当 z 的实部为 >1 时，上面的狄利克雷级数收敛于 和 （z）。 乘以系列的两端即可得到。
减去两个公式，就有了。
右端的交错狄利克雷级数在其收敛区域内定义了狄利克雷函数 （z）。 因此，函数方程。
对于使两个级数收敛的所有复数 z 都是如此。 尽管 z=-1 会导致序列发散，但它可以在复数分析中进行解析扩展，以便方程对于 z 的较大区域仍然成立。 此区域包含 -1，因此 -3 （-1） = （-1）。 解析扩展值 （-1） 等于 1-2+3-4+...。泊松-阿贝尔基于基于幂级数的 1 4 的广义和这也可以从等式中看出。
设 Z=1 并注意 （1）=1 和 （2）=12 得到。 由此而来。
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*：回归本源。 编辑：kcollider