如果我们必须发现平面向量的量积的定义具有几何意义，那么我们可以说向量的量积等于其中一个向量“模块”的加权扩展。
它是投影到另一个向量上的一个向量的长度作为加权值乘以投影向量本身的长度。
它是一种产品，直观地表示为数字。
因为它在定义中使用了投影的概念，所以在处理包含两条直线之间夹角的问题时，它有自然的用例，例如三角形余弦定理的证明、三角学中差分恒等变换方程的证明，以及三维图形中二面角的平面角大小的确定。
让我们稍微扩展一下：
例如，对于余弦定理，设 a、b 和 c 是三角形的三条边，a、b 和 c 是对应的三个角。
如果三角形的三条边用向量表示，则存在以下关系：
两边同时平方
向两侧扩展：
余弦定理被证明。
这种证明方法比几何证明方法直观得多。
也就是说，向量乘积的定义为我们提供了一个更简洁的工具来解决直线角度问题。
另一个例子是三角恒等式变换中和差的余弦公式的证明。
余弦恒等式如下所示：
如果要用几何方法证明证明，则必须使用两点之间的公式
简化最终可以导致以下结果：
由于OA和OB之间实际上存在角度关系，我们尝试使用向量的数量乘积公式来证明：
我们现在将 OA 和 OB 视为两个向量：
两边都是方形的：
上面的向量由坐标表示，并下降到排序规则中：
结果与使用两点公式相同，但它比几何方法更容易使用，因为您不再需要将 alpha 减去 beta 旋转到初始位置。
同样，在三维图形中，在计算二面角中平面角的余弦或正弦值时，如果采用几何方法，则很麻烦，更何况，主要原因是它太不直观了，如果要找到二面角的平面角，真的会让人发疯。 在这种情况下，简单的方法是找到两个面的法向量，然后通过计算两个法向量的定量乘积来计算角度的三角函数值。
如何计算平面的法向量？这就是向量的外积试图解决的问题。
当然，高中还有其他方法，初中不用搞定载体积的问题。
其他的，比如判断两条直线之间的垂直问题、平行问题等等，都是小事，只是例行操作，这里就不讲了。
感谢您的阅读。