法向量是数学、物理学和工程学中经常使用的概念,用于表示平面或曲面在某一点的垂直方向。 法线用于广泛的应用,例如在计算机图形学中,它们可用于模拟照明和阴影效果在流体力学中,法向量可用于计算压力和剪切力;在微分几何中,法向量可用于定义曲率和曲率张量等。
那么,如何找到法向量呢?这取决于平面或曲面的表示方式。 在本文中,我们将介绍三种常见的情况:参数方程、隐式函数和标量场,并给出相应的求法向量方法和示例。
如果平面或曲面可以用参数方程表示,即。
beginx=x(u,v)\\
y=y(u,v)\\
z=z(u,v)end
其中 $u,v$ 是参数,则可以通过以下公式找到任意点 $(x,y,z)$ 处的正常向量 $vec$$:
vec=\frac\times\frac
其中 $times$ 表示向量叉积,$frac$ 和 $frac$ 分别表示 $u$ 和 $v$ 的参数方程的偏导数向量及其在平面或曲面上的切向量。
例如,考虑参数方程为 的圆柱曲面。
beginx=r\cos u\\
y=r\sin u\\
z=vend
其中 $r$ 是常量,$u,v$ 是参数。 则任意点的法向量 $(x,y,z)$ 为 。
vec=\frac\times\frac=
beginvec&\vec&\vec\\
r\sin u&r\cos u&0\\
end(-r\cos u,-r\sin u,0)
可以看出,法向量的方向平行于圆柱面的轴线,直观。
如果平面或曲面可以用隐式函数表示,即。
f(x,y,z)=0
其中 $f$ 是标量函数,则可以使用以下公式找到任意点 $(x,y,z)$ 的法向量 $vec$:
vec=abla f(x,y,z)
其中 $abla$ 是梯度算子,$abla f(x,y,z)$ 是隐式函数的梯度向量,其方向与等值面的法向量方向相同。
例如,考虑一个隐性函数为 的球体。
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-r^2=0
其中 $r$ 是一个常数,表示球体的半径。 则任意点的法向量 $(x,y,z)$ 为 。
vec=abla f(x,y,z)=\frac\vec+\frac\vec+\frac\vec=(2x,2y,2z)
可以看出,法向量的方向与从球心到该点的线是一致的,这也是直观的。
如果平面或曲面可以用标量场表示,即。
z=f(x,y)
其中 $f$ 是标量函数,则可以使用以下公式找到任意点 $(x,y,z)$ 的法向量 $vec$:
vec=(-\frac,-\frac,1)
其中 $frac$ 和 $frac$ 分别表示标量函数的偏导数,分别为 $x$ 和 $y$,以及它们在平面或表面上的切向量。
例如,考虑标量场为 的抛物线。
z=f(x,y)=x^2+y^2
则任意点的法向量 $(x,y,z)$ 为 。
vec=(-\frac,-\frac,1)=(-2x,-2y,1)
可以看出,法向量的方向与抛物线开口的方向相反,这也是直观的。